极限

定义

若只要取 $x$x 足够接近 $a$a，就能使 $f(x)$f(x) 任意接近 $L$L，则称当 $x$x 趋向 $a$a 时函数 $f$f 趋向 $L$L。

点 $a$a 本身被排除在外。这正是该概念的全部要害：极限描述的是一个邻域，而不是一个值。

定义必须排除什么

「任意接近」在没有说明由谁选择、按什么次序之前，还不是一句数学语言。所谓 $\varepsilon$ε–$\delta$δ 表述把两者都固定下来：

$\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0 : 0 < |x - a| < \delta \implies |f(x) - L| < \varepsilon$∀ε>0, ∃δ>0:0<∣x−a∣<δ⟹∣f(x)−L∣<ε

对手先在到达端给出容差 $\varepsilon$ε；随后必须拿出出发端的容差 $\delta$δ 来保证它。量词的次序本身就是命题：$\delta$δ 依赖于 $\varepsilon$ε，绝非相反。

使这一切成立的例子

考察 $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$f(x)=x−1x2−1​。

在 $x = 1$x=1 处分母为零，表达式没有意义。然而对一切 $x \neq 1$x=1 都可以约分：

$\frac{x^2 - 1}{x - 1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x - 1} = x + 1$x−1x2−1​=x−1(x−1)(x+1)​=x+1

于是该函数除 1 之外处处等于 $x + 1$x+1，而在 1 处无定义。它在 1 处的极限是 2 —— 一个函数从未取到的值。

三种表现

后两者没有极限。发散与振荡是两种不同的失败：前者有方向，后者没有。

连续性由此推出

函数在 $a$a 处连续，是指三个条件同时成立：$f(a)$f(a) 存在，$a$a 处的极限存在，且二者相等。

$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$x→alim​f(x)=f(a)

上一节的函数在第一条上失败：极限存在，值不存在。令 $f(1) = 2$f(1)=2 即可使其连续——这称为连续延拓。

小结

极限说明函数趋向什么，与它在该点取何值无关。