复利

定义

一百欧元按每年 5 % 的利率借出，第一年产生 5 € 的利息。剩下要决定的是这 5 € 的去向。若把它取走，借出的本金仍是 100 €，第二年照旧产生 5 €。若把它留在原处，本金便变为 105 €，第二年产生 5,25 € ——因为第一年的利息如今自身也在产生利息。

复利是在一笔已经并入了此前各期利息的本金之上计算的利息。这一相加有一个名称：资本化。

因此整个机制完全包含在一条处理应计利息的规则之中：或者把它们支付给受益人，或者把它们并入本金。除此之外，再没有别的东西区分这两种计算方式。

单利与复利

记 $C$C 为初始本金，$i$i 为以分数表示的每期利率（5 % 写作 $0{,}05$0,05），$n$n 为期数。

按单利计算，每一期产生同样的金额 $Ci$Ci，始终以初始本金为基数：

$V_n = C\,(1 + n\,i)$Vn​=C(1+ni)

按复利计算，每一期把已经取得的款项乘以同一个因子 $1+i$1+i ——即这一增长的公比：

$V_n = C\,(1 + i)^n$Vn​=C(1+i)n

两种方式在一期之内是重合的，因为此时还没有任何利息能够被资本化。把它们分开的是时间长度，而且差距并不轻微。以 100 € 按每年 5 % 计：

只要利率为正，两列之比就随 $n$n 无止境地增大：分子 $(1+i)^n$(1+i)n 按公比 $1+i > 1$1+i>1 呈几何式增长，而分母 $1+ni$1+ni 只作仿射式增长。因此没有任何期限能够限制资本化的领先——只要本金留在原处，这一领先就继续扩大。

为什么增长是几何式的

一期期末的价值总是以同样的方式从上一期的价值得到：

$V_{k+1} = V_k + i\,V_k = V_k\,(1+i)$Vk+1​=Vk​+iVk​=Vk​(1+i)

每期所产生的利息与当下已有的款项成正比，而这笔款项在不断增加：因此所得的金额也随之增长，而在单利之下它始终固定不变。由于因子 $1+i$1+i 既不依赖于 $k$k 也不依赖于 $V_k$Vk​，把这一关系接连应用 $n$n 次便得到 $V_n = C(1+i)^n$Vn​=C(1+i)n ——这是一个归纳推理，其归纳步骤正是上面这个等式，其归纳基础是 $V_0 = C$V0​=C。

这一性质——增量与已经存在的量成正比——正是指数增长的特征性质，只要那个比例系数每期保持不变。在离散时间中，逐期来看，它呈现为一个等比数列。

倍增时间

本金翻一番需要多少期？只需解 $(1+i)^n = 2$(1+i)n=2：

$n = \frac{\ln 2}{\ln(1+i)}$n=ln(1+i)ln2​

这个数与本金无关：把 100 € 翻倍与把 1 亿翻倍所需的时间相同，因为公式是乘法式的。

由于 $\ln 2 \approx 0{,}693$ln2≈0,693，且对较小的利率有 $\ln(1+i) \approx i$ln(1+i)≈i，首先得到 $n \approx 69{,}3/(100\,i)$n≈69,3/(100i)。惯例把这个数提高到 72，于是给出所谓的 72 法则近似：倍增时间约等于 $72/(100\,i)$72/(100i)，即 72 除以以百分数表示的利率。这一替换是计算上的方便，而非精确的结果：能整除 72 的整数，比能整除 69 或 70 ——夹住 69,3 的那两个整数——的更多。此外，这一提高还修正了近似 $\ln(1+i) \approx i$ln(1+i)≈i 所留下的偏差——在 8 % 附近它把偏差抵消，对更低的利率修正过了头，对更高的利率则补得不够。

这一近似在 8 % 附近极好，而在两端都变差：对更低的利率它高估了所需时间，对更高的利率则低估了它。它是一件心算工具，不是公式的替代品。

资本化的频率

一个报出的利率并不足以确定收益：还必须知道利息以怎样的节奏被并入本金。按约定，年名义利率 $i$i 每年资本化 $m$m 次，就是把每期利率 $i/m$i/m 应用 $m$m 次——数学上并没有什么强制如此，这是一项市场惯例。因此在一年终了时，也就是经过 $m$m 个资本化期之后，本金的价值为：

$C\left(1 + \frac{i}{m}\right)^{m}$C(1+mi​)m

年实效利率是这一年中实际取得的增长，即 $(1+i/m)^m - 1$(1+i/m)m−1。对于 10 % 的名义利率：

名义利率为正时，资本化得越频繁，实效利率就越高。因此两个名义利率只有化到同一频率上——或者换算成实效利率——才可以比较。

但这一增益会枯竭：这个数列并不会飞升，它收敛。当 $m$m 无限增大时，它的极限定义了连续资本化：

$\lim_{m \to \infty} \left(1 + \frac{i}{m}\right)^{m} = e^{\,i}$m→∞lim​(1+mi​)m=ei

其中 $e \approx 2{,}71828$e≈2,71828 是取 $i = 1$i=1 时所得的那个著名的数，即 $\lim_{m \to \infty}(1+1/m)^m$limm→∞​(1+1/m)m。此处 $e^{0{,}1} \approx 1{,}105171$e0,1≈1,105171，即 10,5171 % 的实效利率。按日资本化与连续资本化之间相差不到 0,002 个百分点：超过某个节奏之后，再提高频率几乎不再改变任何东西。

这一极限有其自身的用处，是 $m$m 取有限值时的计算所给不出的：$e^{\,i}$ei 不再依赖于 $m$m。因此它提供了一个与资本化节奏无关的唯一参照，以及一种写法 $C\,e^{\,iT}$CeiT ——其中 $T$T 是以年计的时间长度，即 $n = mT$n=mT 个资本化期——它比 $C(1+i/m)^{mT}$C(1+i/m)mT 更便于处理。

滚雪球的比喻

人们常把资本化描述为一个滚动的雪球：它一边滚一边黏起雪，变大，而变大的表面又让它黏起更多的雪。这个比喻忠实地再现了要害之处——增量取决于已经达到的大小。

它在一点上不再忠实：真实的坡有长度，雪的数量有限，雪球最终会停下或者碎裂。而公式 $C(1+i)^n$C(1+i)n 中并不含任何饱和项：其中没有任何东西限制增长。比喻能照亮机制，却不证明什么，也不应被当作对真实机制之界限的描述。

公式所预设的

等式 $V_n = C(1+i)^n$Vn​=C(1+i)n 在四个条件下才是精确的，而它的结果只有在另外两个条件下才能得到正确的解读。

为使公式得以适用：

• 利率在整个期限内保持不变。 若利率逐期变化，就必须把各个因子逐一相乘：$V_n = C\,(1+i_1)(1+i_2)\cdots(1+i_n)$Vn​=C(1+i1​)(1+i2​)⋯(1+in​)。幂的写法只是所有利率相等时的特例。
• 利息确实被资本化。 每期支付并被取走的利息属于单利，无论那件产品被冠以什么名称。
• 本金保持不动。 中途任何本金的追加或提取都超出了公式的范围：那时每一笔流量都必须从它自己的日期起单独资本化。
• 只能有按比例的扣减。 每期一笔固定的费用会使价值脱离 $C(1+i)^n$C(1+i)n 的形式，因为那时所减去的是一个因子无法吸收的金额。而按比例的扣减则保留这一形式——但会改变应当采用的利率，正如下一个条件所说。

为使结果具有意义：

• 正确的利率。 每期按比例扣取的费用与税收会降低那个因子：应当写进公式的是净利率。于是毛与净之间的差距随时间拉大，二者之比按 $(1+i)/(1+i_{\mathrm{net}})$(1+i)/(1+inet​) 的 $n$n 次幂增长。
• 稳定的计量单位。 以当期欧元计的 5 % 收益，在物价上涨 3 % 时，并不留下 2 % 的额外购买力，而是 $1{,}05/1{,}03 - 1 \approx 1{,}94\,\%$1,05/1,03−1≈1,94%：各个利率是相乘复合的，不是相加的。相减只是一个近似，利率越高就越粗糙。（名义一词在此有了第二重含义——指未经通货膨胀修正，与实际收益相对——不要把它与讲资本化频率那一节中的名义利率相混淆，后者与实效利率相对。）

最后有两点说明。这一机制与借贷的方向无关：一笔未付利息不断并入本金的债务，按完全相同的公式增长。而若 $i$i 介于 $-1$−1 与 $0$0 之间，因子 $1+i$1+i 介于 0 与 1 之间：同一个等比增长此时描述的便是一种侵蚀，其绝对值上的减少越来越慢。

小结

复利让利息也对已经取得的利息计息：这笔款项按公比 $1+i$1+i 呈等比增长，只要利率为正，它对单利的领先就随时间无止境地扩大。