1. 目标与前置知识

前置：集合与实数。目标是定义函数、计算f(x)、读取原像、连接表示并选择适当定义域。

2. 定义：一个输入一个输出

函数f为D中的每个x恰好指定一个输出f(x)。多个输入可以有相同输出，但同一个输入不能对应两个不同输出。

3. 定义域、函数值与原像

定义域包含允许的输入。x处的函数值（像）是f(x)。y的原像是满足f(x)=y的x。实际情境可以限制定义域。

4. 四种表示

文字、公式、表格和图像可以表示同一函数。图像由点(x,f(x))组成。

5. 例题

f(x)=2x+3时，f(2)=7；解f(x)=7得到x=2。

6. 练习

6.1. 计算函数

设f(x)=2x+3。计算f(-2)、f(0)、f(4)，再求输出为7的输入，并列出输入—输出表。

引导解答。 f(-2)=-1，f(0)=3，f(4)=11，输出7对应x=2。

6.2. 建立价格模型

行程固定费用4欧元，每公里1.80欧元。定义C(d)，给出合理定义域，计算C(0)、C(2)、C(5)，并解释1.80和4。

成功标准。 C(d)=4+1.8d且d≥0；C(0)=4，C(2)=7.6，C(5)=13。1.80是每公里费用，4是固定费用。

6.3. 识别函数

表格给出-1→3、0→1、1→1、2→3。判断是否为函数，给出输入2的输出和输出1的输入，并解释为什么0→1与0→4同时存在时不是函数。

成功标准。 说明使用每个输入只有一个输出的规则，并区分多个输入可以共享同一输出。

7. 深入理解：函数真正编码了什么

7.1. 关系还是函数？

一般关系不一定是函数。决定条件在于输入：定义域中的每个输入必须恰好对应一个输出。如果表格中同一个输入对应两个不同输出，它就不是函数。在y=f(x)的图像上，可以用竖线检验表达同一原则：一条竖线若与图像相交多次，就意味着同一个x有多个输出。

反过来并不要求唯一。不同输入可以得到同一个输出，例如平方函数中-2和2都对应4。

7.2. 定义域、陪域与值域

定义域给出允许的输入；陪域说明输出被声明属于哪个集合；值域只包含实际取得的输出。把f(x)=x²看成R到R的函数时，它的值域是[0,+∞)。寻找原像或讨论反函数时，这一区别非常重要。

定义域也不总由公式单独决定。g(x)=1/(x-2)中x=2因除零而被排除；时间、质量、距离等实际模型还可能有额外的情境限制。

7.3. 分段函数与表示之间的一致性

规则可以在定义域的不同部分改变，只要每个输入仍只有一个输出，它仍是一整个函数。分段公式中的变化必须在表格和图像中保持一致。

在文字、公式、表格和图像之间转换也是检查模型的方法：公式便于计算，表格显示选定数值，图像展示整体形状，文字说明量和单位的含义。

7.4. 读图与常见错误

读f(3)=5时，从x=3找到图像，再读取y=5。寻找5的原像则从y=5反向寻找所有对应的x，答案可能为零个、一个或多个。

常见错误包括：把f(x)当作乘法；混淆陪域和值域；忘记定义域限制；认为多个原像违反函数定义；以及仅凭少量表格点就断言唯一公式。

7.5. 用定义域检查模型

计算之前，应先判断输入是否在情境中有意义。例如C(d)=4+1.8d在代数上可以代入d=-3，但负的行程距离不符合这个模型。物品数量常要求非负整数，而温度可以取负实数。明确写出定义域，可以防止把“公式能算”误当成“模型合理”。

还应检查边界值、分段规则切换点以及因除零或根式而被排除的输入，确认公式、表格、图像和文字解释保持一致。

8. 总结

函数为定义域中的每个输入恰好指定一个输出。

9. 课程标准来源

• 法国教育部 — 2026年Seconde数学课程“函数”：官方公报。
• California Department of Education — F-IF.1与F-IF.2：California Content Standards。

10. 修订说明

2026年9月20日依据两个不同国家的官方框架编写。正文和翻译使用AI；不声称已测得学习效果提升。