集合
定义 事实
集合是由明确确定的对象组成的汇集，这些对象称为集合的元素。例如，
A={2,4,6}
4∈A表示4属于A。相反，5∈/A。
顺序和重复不会改变一个集合：{2,4,6}、{6,4,2}与{2,2,4,6}表示同一个集合。唯一重要的问题是：哪些元素属于这个汇集？
描述集合 事实
可以列举元素：
B={a,e,i,o,u}
也可以用性质来定义：
C={n∈N∣n<5}={0,1,2,3,4}
这里采用0∈N的约定。竖线读作“使得”。这个性质必须能够无歧义地判断一个对象是否属于该集合。
空集、相等与基数 事实
空集记为∅，不含任何元素。不要把它与{∅}混淆，后者含有一个元素，即空集本身。
两个集合恰好含有相同元素时相等。对于有限集合A，其基数$|A|$是元素个数。因此，当A={2,4,6}时，$|A|=3$。
包含与子集 事实
当A的每个元素也都属于B时，写作A⊆B。例如，
{2,4}⊆{1,2,3,4}
隶属和包含不是同一种关系：2∈A比较一个对象与一个集合；A⊆B比较两个集合。
每个集合都是自身的子集，空集是任何集合的子集。
三种基本运算 事实
设A={1,2,3}，B={3,4}。
| 运算 | 含义 | 结果 |
|---|---|---|
| 并集 A∪B | 在A或B中的元素 | {1,2,3,4} |
| 交集 A∩B | A与B的共有元素 | {3} |
| 差集 A∖B | 属于A但不属于B的元素 | {1,2} |
并集中的“或”是包含式的：同时出现在两个集合中的元素当然属于并集，但只出现一次。
如果指定了全集U，A在U中的补集是U∖A。若没有明确选择全集，“A的补集”这一说法并不完整。
图示有帮助，但不是定义 事实
维恩图用区域表示集合。重叠区域呈现交集，区域的合并呈现并集。它是推理工具，不是定义：证明必须回到元素的隶属条件。
要证明A∩B⊆A，取任意元素x∈A∩B。根据交集的定义，x∈A且x∈B，因此x∈A。包含关系得证。
这种抽象为何有用 事实
集合为数学与计算机科学提供共同语言。值域、查询结果、图的顶点或规则接受的情形都可以作为集合处理。这样，关系可以表示为有序对的集合，函数则建立在定义域与到达域之上。
因此，集合是学习关系、函数、数据库、概率和图论的直接先修概念。
总结
集合由其元素确定：隶属把对象与集合联系起来；包含比较两个集合；并集、交集和差集构造新集合。