集合

定义

集合是由明确确定的对象组成的汇集，这些对象称为集合的元素。例如，

$A=\{2,4,6\}$

$4\in A$ 表示4属于 $A$ 。相反， $5\notin A$ 。

顺序和重复不会改变一个集合： $\{2,4,6\}$ 、 $\{6,4,2\}$ 与 $\{2,2,4,6\}$ 表示同一个集合。唯一重要的问题是：哪些元素属于这个汇集？

描述集合

可以列举元素：

$B=\{a,e,i,o,u\}$

也可以用性质来定义：

$C=\{n\in\mathbb{N}\mid n<5\}=\{0,1,2,3,4\}$

这里采用 $0\in\mathbb{N}$ 的约定。竖线读作“使得”。这个性质必须能够无歧义地判断一个对象是否属于该集合。

空集、相等与基数

空集记为 $\varnothing$ ，不含任何元素。不要把它与 $\{\varnothing\}$ 混淆，后者含有一个元素，即空集本身。

两个集合恰好含有相同元素时相等。对于有限集合 $A$ ，其基数 $|A|$ 是元素个数。因此，当 $A=\{2,4,6\}$ 时， $|A|=3$ 。

包含与子集

当 $A$ 的每个元素也都属于 $B$ 时，写作 $A\subseteq B$ 。例如，

$\{2,4\}\subseteq\{1,2,3,4\}$

隶属和包含不是同一种关系： $2\in A$ 比较一个对象与一个集合； $A\subseteq B$ 比较两个集合。

每个集合都是自身的子集，空集是任何集合的子集。

三种基本运算

设 $A=\{1,2,3\}$ ， $B=\{3,4\}$ 。

运算	含义	结果
并集 $A\cup B$	在 $A$ 或 $B$ 中的元素	$\{1,2,3,4\}$
交集 $A\cap B$	$A$ 与 $B$ 的共有元素	$\{3\}$
差集 $A\setminus B$	属于 $A$ 但不属于 $B$ 的元素	$\{1,2\}$

并集中的“或”是包含式的：同时出现在两个集合中的元素当然属于并集，但只出现一次。

如果指定了全集 $U$ ， $A$ 在 $U$ 中的补集是 $U\setminus A$ 。若没有明确选择全集，“ $A$ 的补集”这一说法并不完整。

图示有帮助，但不是定义

维恩图用区域表示集合。重叠区域呈现交集，区域的合并呈现并集。它是推理工具，不是定义：证明必须回到元素的隶属条件。

要证明 $A\cap B\subseteq A$ ，取任意元素 $x\in A\cap B$ 。根据交集的定义， $x\in A$ 且 $x\in B$ ，因此 $x\in A$ 。包含关系得证。

这种抽象为何有用

集合为数学与计算机科学提供共同语言。值域、查询结果、图的顶点或规则接受的情形都可以作为集合处理。这样，关系可以表示为有序对的集合，函数则建立在定义域与到达域之上。

因此，集合是学习关系、函数、数据库、概率和图论的直接先修概念。

总结

集合由其元素确定：隶属把对象与集合联系起来；包含比较两个集合；并集、交集和差集构造新集合。

教学参考资料

集合

定义