1. 目标与前置知识

前置：会计算两点之间的变化率，并理解简单极限。本课把这两个概念连接起来，构造导数，并把它解释为斜率和瞬时变化。

学习结束后，应能解释差商、从定义计算简单导数，并写出切线方程。

2. 从割线到切线

对函数f和输入a，再取一个输入a+h。两点之间的变化率是

(f(a+h)-f(a))/h，其中h≠0。

几何上，这是连接(a,f(a))与(a+h,f(a+h))的割线斜率。h越小，第二个点越靠近第一个点。如果这些割线斜率趋近唯一数值，这个数值就描述曲线在该点附近的局部斜率。

3. 一点处导数的定义

如果极限

f'(a)=lim_{h→0}(f(a+h)-f(a))/h

存在且有限，就说f在a处可导，f'(a)称为f在a处的导数。

这是局部性质。它并不表示函数在a附近完全是一条直线，而是表示在足够小的尺度上，函数的变化可由斜率为f'(a)的直线很好地近似。

4. 几何意义与切线方程

曲线在A=(a,f(a))处的切线斜率是f'(a)。切线方程为

y=f(a)+f'(a)(x-a)。

f'(a)的符号给出局部信息：正值表示曲线附近上升，负值表示下降，零表示切线水平。但仅仅f'(a)=0并不能证明该点一定是极大或极小。

5. 示例：从定义计算

取f(x)=x²，a=2。

(f(2+h)-f(2))/h=((2+h)²-4)/h。

展开得(4+4h+h²-4)/h=(4h+h²)/h=4+h（h≠0）。

当h→0时，4+h→4，因此f'(2)=4。

切线经过(2,4)，斜率为4：

y=4+4(x-2)=4x-4。

这个计算没有预先使用(x²)'=2x，而是直接展示导数的来源。

6. 瞬时变化与单位

若f表示位置（米），输入表示时间（秒），平均变化率的单位是m/s。导数保留相同单位，但描述瞬时极限值。

导数并不是直接测量一个有限时间段发生的变化，而是当区间不断缩小到该点时，平均变化率趋近的数值。

7. 练习

7.1. 从定义求导

对f(x)=x²，用h→0时(f(3+h)-f(3))/h的极限求f'(3)。先展开并化简，再取极限，并把结果解释为斜率。

引导解答。 h≠0时商化为6+h，因此极限为6；x=3处切线斜率为6。

7.2. 观察瞬时速度

用s(t)=t²米表示位置，t单位为秒。分别取h=1、0.5、0.1，计算从t=2到t=2+h的平均速度。比较结果并解释它们趋近同一数值意味着什么。

成功标准。 商使用正确时间间隔，单位为m/s，并区分区间平均与瞬时极限值。

7.3. 不用现成公式推出导数

对g(x)=x³，利用(g(1+h)-g(1))/h从定义求g'(1)。然后写出x=1处的切线方程，并说明每一步。

成功标准。 答案展开立方，在取极限前约去因子h，得到正确斜率，并用点(1,1)构造切线，而不是直接引用(x³)'=3x²。

8. 总结

一点处的导数是变化率的极限。各变化率对应割线斜率，其极限给出切线斜率。同一个数值还可表示带有实际单位的瞬时变化。

9. 课程标准来源

• 法国教育部 — 2026年Première générale数学专业课程“Dérivation”： 官方公报。
• UK Department for Education — GCE AS and A level Mathematics，G节“Differentiation”： 官方内容。

10. 修订说明

课程于2026年9月26日根据两个不同国家的官方框架编写。计算已重新核对，8个语言版本均由同一模型进行两轮复核；不声称独立人工验证或已测得学习增益。