数字

定义 事实

数字是用来书写数的符号。十进制恰好有十个：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。

数字不是数量本身，而是记录数量的记号。

数字与数 事实

数 128 由三个数字写成：1、2 和 8。数 7 只由一个数字写成，而这个数字与它同名——两个词常被混淆，原因正在于此。

一个有用的类比 类比

数字之于数，正如字母之于词：有限的字母表记录无限的词汇。

如同一切类比，它也有边界。在一个词中，字母的位置不赋予它任何值；而在一个数中，数字的位置精确地决定它的值。

位值记数法 事实

一个数字的值取决于它写在哪里：

$205 = 2 \times 10^2 + 0 \times 10^1 + 5 \times 10^0$205=2×102+0×101+5×100

数字 2 在 512 中表示二，在 205 中表示二百。改变的只是它的位置。

零在这里有其独特作用：它不增添任何数量，却占据一个位。没有零，205 与 25 将写成同一个样子。

并非所有记数系统都如此。罗马数字是加法与减法的，但不是位值的：无论处在哪一位，X 在 XVI 与 XIV 中都表示十。

更换进制 事实

可用数字的个数决定了基数。基数为 $b$b 的进制，恰好用 $b$b 个数字书写，从 0 到 $b-1$b−1。

十六进制需要十六个符号：通常的十个数字不够用，于是借用字母。这说明「数字」指的是一种角色，而非一种形状——在十六进制中，A 就是一个数字。

小结

数字是符号，数是数量；而赋予数字分量的，是它所处的位置。