Весь анализ держится на одном свойстве — полноте ℝ. Уберите его, и его теоремы падут одна за другой.

Вещественный анализ

Что изучает анализ ФАКТ

Вещественный анализ изучает функции вещественной переменной единственным орудием — предельным переходом. Непрерывность, производная, интеграл, ряды — всё сводится к нему.

Это не собрание независимых результатов. Это здание, поставленное на одном свойстве, и оно рушится целиком, если это свойство убрать.

Единственное основание ФАКТ

Это свойство — полнота: всякое непустое ограниченное сверху подмножество $\mathbb{R}$ имеет точную верхнюю грань.

Великие теоремы анализа не просто выводятся из неё — они ей равносильны. Принять любую из них значит принять полноту, и наоборот.

Теорема	Утверждение
О промежуточном значении	Непрерывная функция, меняющая знак, имеет нуль
О наибольшем значении	Непрерывная на отрезке функция достигает максимума
Больцано — Вейерштрасса	Всякая ограниченная последовательность имеет сходящуюся подпоследовательность
Критерий Коши	Всякая фундаментальная последовательность сходится

Здание над ℚ ФАКТ

Лучший способ увидеть, что даёт полнота, — отнять её. Встанем на $\mathbb{Q}$ , где её нет, и возьмём:

$f(x) = x^2 - 2 \quad \text{на} \quad [1, 2] \cap \mathbb{Q}$

Эта функция непрерывна, $f(1) = -1 < 0$ и $f(2) = 2 > 0$ . Теорема о промежуточном значении требовала бы нуля. Его нет: корень равен $\sqrt{2}$ , а он не рационален.

Тот же разрыв валит и три остальные. Последовательность десятичных приближений $\sqrt{2}$ фундаментальна в $\mathbb{Q}$ и там не сходится; она ограничена и не имеет там ни одной сходящейся подпоследовательности.

ℝ

√2
1
2

Производная и интеграл суть пределы ФАКТ

Две центральные операции — не что иное, как переодетые предельные переходы:

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

Интеграл Римана точно так же есть предел сумм площадей прямоугольников, ширина которых стремится к нулю.

Ни одна из них не имеет смысла без гарантии, что эти пределы существуют. Поэтому дифференциальное и интегральное исчисление не могло быть основано на одних рациональных числах.

Что в итоге стало значить «строго» ФАКТ

Анализ долго работал на интуициях непрерывности и бесконечно малого, дававших верные результаты, притом что никто не знал почему.

Формулировка $\varepsilon$ – $\delta$ и явное построение $\mathbb{R}$ заменили эти интуиции проверяемыми утверждениями. Выигрыш не в новых результатах, а в возможности точно назвать, от какой предпосылки зависит каждая теорема.

Итог

Уберите полноту — и анализ прекращается: его теоремы ей равносильны, а не просто подчинены.