Временна́я стоимость денег

Определение ФАКТ

Получить 1 000 € сегодня или 1 000 € через год: обе суммы записываются одинаково и всё же не суть одно и то же. Сегодняшнюю можно поместить, и через год она будет стоить больше, коль скоро помещение приносит доход. Обратная операция тоже возможна — получить сегодня сумму, ожидаемую позже, значит взять взаймы, — и цена её имеет то же происхождение: доходность, от которой отказывается заимодавец и ниже которой запрашиваемая ставка не опустится.

Временна́я стоимость денег — это принцип, согласно которому сумма имеет экономический смысл лишь в связи с датой и согласно которому две суммы, несущие разные даты, сравнимы, лишь будучи приведены к общей дате. Пока альтернативное применение приносит положительную доходность, сумма, доступная раньше, стоит больше суммы, доступной позже.

Складывать или вычитать напрямую две суммы разных дат — ошибка того же рода, что складывать длины, выраженные в разных единицах.

Источник этого расхождения не во времени самом по себе: он в существовании альтернативного применения. Если бы никакое помещение ничего не приносило, обе суммы были бы равноценны. Именно потому, что доступный капитал может быть употреблён — и что это употребление приносит доход, — ожидание обходится дорого. Временна́я стоимость денег есть, таким образом, альтернативные издержки в приложении к календарю: ожидание стоит той доходности лучшего применения, от которого оно заставляет отказаться.

Дисконтировать — операция, обратная капитализации ФАКТ

Капитализация переносит сумму в будущее, умножая её на $(1+i)^n$(1+i)n. Поставленный здесь вопрос симметричен: какая сегодняшняя сумма равноценна величине $V_n$Vn​, доступной через $n$n периодов? Та, которая, будучи капитализирована, дала бы в точности $V_n$Vn​. Достаточно, стало быть, разделить вместо того, чтобы умножить.

$V_0 = \frac{V_n}{(1+i)^n}$V0​=(1+i)nVn​​

Эта операция называется дисконтированием, $V_0$V0​ — приведённой стоимостью потока, а число $1/(1+i)^n$1/(1+i)n — коэффициентом дисконтирования: тем, на который будущий поток умножают. Пока $i$i положительно, этот коэффициент меньше 1 и убывает геометрически по мере удаления срока.

Капитализация и дисконтирование суть, стало быть, одно и то же соотношение, прочитанное в двух направлениях. Всякое свойство одного имеет своё соответствие в другом: пока ставка остаётся положительной, коэффициент дисконтирования убывает тем быстрее, чем выше ставка, а очень отдалённый поток имеет сколь угодно малую приведённую стоимость.

Ставка дисконтирования есть альтернативные издержки ФАКТ

Ставка $i$i, применяемая для дисконтирования, не есть свойство дисконтируемой суммы. Это доходность лучшего сопоставимого альтернативного применения, на которое капитал был бы направлен, не будь он связан в рассматриваемой операции.

Отсюда следуют три вывода, часто понимаемые неверно.

• Ставка зависит от того, кто считает. Двое, располагающие разными возможностями, законно дисконтируют один и тот же поток по разным ставкам и приходят к разным приведённым стоимостям. Это не противоречие: они отказываются не от одного и того же.
• Не существует «истинной» ставки, читаемой по самому потоку. Ставка есть обоснованный выбор, оправданием которому служит альтернатива, взятая за ориентир. Смена альтернативы меняет результат.
• Приведённая стоимость весьма чувствительна к этому выбору — тем более, чем длиннее горизонт, поскольку множитель $1+i$1+i возводится там в степень $n$n. Честное сравнение поэтому рассматривает, как смещается вывод при изменении ставки.

Сравнить последовательность потоков: чистая приведённая стоимость ФАКТ

Большинство решений касается не одной-единственной суммы, а последовательности сумм, распределённых во времени: первоначальный отток, затем поступления. Каждая приводится к опорной дате, и приведённые стоимости — теперь однородные — складываются. Если оттоки считать отрицательными, сумма этих приведённых стоимостей есть чистая приведённая стоимость (NPV).

$\mathrm{NPV} = \sum_{t=0}^{n} \frac{F_t}{(1+i)^t}$NPV=t=0∑n​(1+i)tFt​​

где $F_t$Ft​ — чистый поток периода $t$t, взятый со знаком минус, если это отток. Поток даты 0 не дисконтируется, поскольку его коэффициент равен 1.

Пусть будет отток в 1 000 € сегодня против трёх поступлений по 400 € в периоды 1, 2 и 3. При ставке 5 %:

$\mathrm{NPV} = -1000 + \frac{400}{1{,}05} + \frac{400}{1{,}05^2} + \frac{400}{1{,}05^3} = -1000 + 380{,}95 + 362{,}81 + 345{,}54 = 89{,}30$NPV=−1000+1,05400​+1,052400​+1,053400​=−1000+380,95+362,81+345,54=89,30

NPV положительна: операция приносит на 89,30 € больше, в сегодняшних евро, чем эталонное помещение под 5 %.

Тот же расчёт при 15 % даёт $-1000 + 347{,}826 + 302{,}457 + 263{,}006 \approx -86{,}71$−1000+347,826+302,457+263,006≈−86,71. NPV отрицательна, и те же самые потоки становятся невыгодными. Ничего не изменилось, кроме альтернативы, с которой их сравнивают: NPV измеряет не внутреннее качество, а отклонение от ориентира.

Решает именно это отклонение, а не валовое сальдо. Заметим ведь, что недисконтированная сумма поступлений, 1 200 €, превышает отток в 1 000 € в обоих случаях: это сравнение ничего не решает, поскольку складывает суммы разных дат.

Раз речь идёт об отклонении, отсюда и правило чтения: при $\mathrm{NPV} > 0$NPV>0 операция предпочтительнее эталонной альтернативы; при $\mathrm{NPV} = 0$NPV=0 они равноценны; при $\mathrm{NPV} < 0$NPV<0 предпочтительнее альтернатива.

Внутренняя норма доходности ФАКТ

Раз NPV зависит от ставки, вопрос можно перевернуть и искать ставку, которая обращает её в нуль. Эта ставка есть внутренняя норма доходности (IRR): то значение $i$i, при котором операция и её эталонная альтернатива в точности равноценны.

В предыдущем примере IRR равна примерно 9,70 % — значение, полученное численным решением: уравнение полиномиально степени $n$n, не имеет общей формулы в радикалах выше 4-й степени и становится неподъёмным вручную задолго до неё. Когда же единственный будущий поток противостоит начальной сумме, IRR, напротив, вычисляется напрямую: $i = (V_n/V_0)^{1/n} - 1$i=(Vn​/V0​)1/n−1. Читается она прямо: операция предпочтительнее всякой альтернативы, приносящей менее 9,70 %, и невыгодна против всякой альтернативы, приносящей больше. Это и есть та точка перелома, которая обнаружилась между двумя расчётами — при 5 % и при 15 %.

Надо знать два ограничения. Обратить NPV в нуль — значит решить $\sum_t F_t\,x^t = 0$∑t​Ft​xt=0, где $x = 1/(1+i)$x=1/(1+i); смысл имеют лишь корни $x > 0$x>0, то есть $i > -1$i>−1, и IRR получается из них по $i = 1/x - 1$i=1/x−1. Пока потоки меняют знак только один раз — отток, затем поступления, — такой корень существует и он единствен, причём IRR может оказаться и отрицательной, если поступления в сумме меньше оттока. Когда же знак меняется несколько раз, уравнение может иметь несколько допустимых корней или ни одного, и IRR тогда перестаёт быть определена однозначно. К тому же, будучи ставкой, она ничего не говорит о размере операции: высокая IRR на малой сумме может создать меньше ценности, чем скромная IRR на большой. Чтобы упорядочить конкурирующие операции, надлежащей величиной остаётся NPV, выражаемая денежной суммой.

Случай неопределённых потоков ГИПОТЕЗА

Предыдущие формулы предполагают потоки, известные и по величине, и по дате. Как только будущая величина неопределённа, возможны две различные поправки: взвесить потоки по их вероятности и поднять ставку дисконтирования на премию за риск над доходностью применения, считаемого надёжным. Обе поправки широко применяются — спорным остаётся их обоснование, а не их существование.

Они не одной природы. Первая есть не что иное, как вычисление математического ожидания: она вполне определена, коль скоро определены вероятности. Но решать по одному лишь ожиданию — значит уже предполагать безразличие к риску, а как раз эту гипотезу вторая поправка и отвергает, не вытекая при этом из принципа: принцип говорит, что потоки надо привести к общей дате, он не говорит, насколько повысить ставку. Величина уместной премии — и даже правомерность того, чтобы одна-единственная ставка несла на себе две столь разные вещи, как течение времени и подверженность риску, — остаются предметом спора. Дисконтирование неопределённого потока будем поэтому считать условной практикой, результат которой не имеет того же статуса, что расчёт по достоверно известным потокам.

Что предполагает принцип ФАКТ

• Одна и та же единица. Потоки должны быть выражены в одной валюте и трактоваться единообразно в отношении инфляции: потоки в текущих единицах дисконтируются по номинальной ставке, той, что не исправлена на инфляцию, а потоки, выраженные в постоянной покупательной способности, — по реальной ставке, той, что получается как $(1+i)/(1+\pi) - 1$(1+i)/(1+π)−1 — где $i$i обозначает здесь номинальную ставку, а $\pi$π темп инфляции за период, — а не простым вычитанием. Смешение того и другого есть самая частая ошибка расчёта дисконтирования. (Слово номинальный противопоставлено здесь реальному; как отмечено в предыдущем принципе, в другом месте оно противопоставлено эффективному и предполагает тогда заданную частоту капитализации.)
• Ставка, приспособленная к каждому сроку. Ничто не обязывает ставку быть единой на всём горизонте. Если она различна по периодам, коэффициент становится произведением последовательных множителей, а запись в виде степени есть лишь частный случай постоянной ставки.
• Явные даты. Дисконтирование требует знать дату каждого потока, а не только его величину: $n$n есть параметр расчёта в той же мере, что и $i$i.
• Действительно доступная альтернатива. NPV сравнивает с применением, предполагаемым доступным для тех же сумм и на те же даты. Если альтернатива ограничена потолком или недоступна, принятая ставка уже не измеряет того, от чего отказываются на деле.

Наконец, одно замечание. Если $i$i заключено между $-1$ и 0, коэффициент дисконтирования превышает 1, и будущая сумма стоит больше той же суммы сегодня. Принцип, стало быть, не утверждает, что деньги теряют ценность со временем, — он утверждает, что сумма без даты неполна и что направление расхождения задаётся знаком ставки.

Итог

Сумма имеет смысл лишь вместе со своей датой: чтобы сравнить суммы, распределённые во времени, надо привести их к общей дате, разделив на $(1+i)^n$(1+i)n, по ставке лучшего альтернативного применения.