1. Цели и предварительные знания

Предварительно: уметь вычислять значение функции и читать две точки её графика. Цель — вычислять темп изменения, интерпретировать его как наклон секущей, сохранять единицы и сравнивать интервалы.

2. Определение: изменение выхода на изменение входа

Для двух различных входов a и b темп изменения f между a и b равен (f(b)-f(a))/(b-a). Числитель Δy=f(b)-f(a) — изменение выхода, знаменатель Δx=b-a — изменение входа. Требуется b≠a.

3. Геометрический смысл: наклон секущей

Точки A=(a,f(a)) и B=(b,f(b)) лежат на графике. Прямая через A и B — секущая. Её наклон равен Δy/Δx. Положительный темп даёт возрастающую секущую, отрицательный — убывающую, нулевой — горизонтальную.

4. Единицы и представления

Единица равна единице выхода, делённой на единицу входа: км/ч, °C/ч, €/ед. и т. п. Темп можно вычислить по формуле или таблице и оценить по графику, прочитав две точки. Графическое чтение может включать округление.

5. Решённый пример

Для f(x)=x² от 1 до 3: f(1)=1, f(3)=9. Поэтому Δy=8, Δx=2 и темп изменения равен 8/2=4. Секущая через (1,1) и (3,9) имеет наклон 4.

6. Практика

6.1. Расчёт для функции квадрата

Для f(x)=x² вычислите темп изменения от x=1 до x=4. Укажите f(1), f(4), Δx, Δy, затем отношение Δy/Δx.

Разбор. f(1)=1, f(4)=16; Δy=15, Δx=3; темп равен 5.

6.2. Сравнение изменения температуры

Температура равна 12 °C в 8:00, 18 °C в 11:00 и 20 °C в 15:00. Вычислите средний темп изменения на 8–11 и 11–15 ч в °C/ч. Сравните интервалы и объясните, почему средние значения не доказывают постоянную скорость изменения температуры.

Критерии успеха. Оба отношения используют правильные длительности, единицы указаны, а вывод различает среднее на интервале и мгновенное изменение.

6.3. Сравнение двух интервалов без копирования формулы

Для g(x)=x²+1 вычислите темп изменения на [-1,2] и [2,3]. Сравните результаты и с помощью двух секущих объясните, что различие говорит об изменении g.

Критерии успеха. Обоснование строит оба отношения из значений g, правильно сравнивает средние наклоны и не называет их производными.

7. Итог

Темп изменения — отношение приращений Δy/Δx. Он описывает среднее изменение между двумя различными входами, равен наклону соответствующей секущей и имеет интерпретируемые единицы.

8. Источники программы

• Министерство образования Франции — программа профильной математики Première générale 2026, приложение с. 360, « Dérivation »: официальный бюллетень.
• California Department of Education — F-IF.6, вычисление и интерпретация среднего темпа изменения: California Content Standards.

9. Примечание о редакции

Курс подготовлен 25 сентября 2026 года по двум официальным источникам из разных стран. Численные примеры пересчитаны; текст и переводы подготовлены с помощью ИИ. Измеренный прирост обучения не заявляется.