Вероятность

Определение

Вероятность — это число, приписанное событию, заключённое между 0 и 1 и измеряющее долю, которую оно занимает среди всех возможных исходов.

Множество этих исходов образует пространство элементарных событий, обозначаемое $\Omega$Ω. Событие — его подмножество: «кость показала чётное число» есть подмножество $\{2, 4, 6\}${2,4,6}.

Три аксиомы

Всё исчисление вероятностей держится на трёх утверждениях — и больше ни на чём:

Третья распространяется на счётные объединения, чего достаточно для бесконечных пространств.

Что из них следует

Эти три правила — не произвольная отправная точка: они порождают привычные тождества.

$P(\bar{A}) = 1 - P(A) \qquad P(\emptyset) = 0 \qquad P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$P(Aˉ)=1−P(A)P(∅)=0P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)

Последнее исправляет двойной счёт: складывая $P(A)$P(A) и $P(B)$P(B), мы дважды учитываем принадлежащее обоим, и это надо вычесть один раз. Сама по себе аддитивность применима лишь к непересекающимся событиям.

Условная вероятность и независимость

Знание о том, что $B$B произошло, меняет долю, занимаемую $A$A. Пространство тогда сужается до $B$B:

$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad P(B) > 0$P(A∣B)=P(B)P(A∩B)​,P(B)>0

Два события независимы, когда это сужение ничего не меняет: $P(A \mid B) = P(A)$P(A∣B)=P(A), что равносильно $P(A \cap B) = P(A)\,P(B)$P(A∩B)=P(A)P(B).

Независимость — числовое свойство, а не интуиция. Два события могут не иметь причинной связи и всё же быть зависимыми; встречается и обратное.

Чего аксиомы не говорят

Формализм задаёт правила вычисления и молчит об их смысле. Сосуществуют два прочтения: частотное, где вероятность есть предел частоты при повторениях, и байесовское, где она измеряет пересматриваемую степень уверенности.

Оба подчиняются одним и тем же трём аксиомам и дают одни и те же числа. Их расхождение касается истолкования, а не расчёта.

Итог

Три аксиомы обосновывают всё исчисление вероятностей, и ни одна не говорит, что вероятность означает.