Вещественное число

Определение

Вещественное число — это точка непрерывной прямой. Целые, дроби, корни и $\pi$π занимают на ней своё место, и ни одна позиция не остаётся пустой.

Именно это отсутствие разрывов определяет множество $\mathbb{R}$R — куда больше, чем перечень содержащихся в нём чисел.

Что даёт каждое расширение

Каждый этаж восполняет нехватку предыдущего. Последний иной природы: отказывает уже не операция, а последовательность, которой некуда прийти.

Разрыв рациональных чисел

Ни одна дробь не даёт в квадрате 2. Пусть несократимая дробь $p/q$p/q удовлетворяет $(p/q)^2 = 2$(p/q)2=2: тогда $p^2 = 2q^2$p2=2q2, значит $p$p чётно, значит $p = 2m$p=2m, значит $4m^2 = 2q^2$4m2=2q2, значит и $q$q чётно. Оба чётны — вопреки предположению о несократимости.

И всё же $\sqrt{2}$2​ существует: это диагональ квадрата со стороной 1. Рациональные числа оставляют разрыв ровно там, где точка прекрасно строится.

Полнота

Свойство, выделяющее $\mathbb{R}$R, укладывается в одну фразу: всякое непустое ограниченное сверху множество имеет точную верхнюю грань.

Возьмём множество рациональных чисел, квадрат которых меньше 2. Оно непусто и ограничено сверху — но внутри $\mathbb{Q}$Q у него нет наименьшей верхней границы: всегда найдётся более тесная. В $\mathbb{R}$R такая наименьшая граница существует, и это $\sqrt{2}$2​.

Это свойство характеризует $\mathbb{R}$R: с точностью до изоморфизма это единственное полное линейно упорядоченное поле.

Большая бесконечность

Рациональные числа поддаются нумерации: их можно выстроить в список, занумерованный целыми. Вещественные — нет, никакой список их не исчерпывает.

Бесконечность вещественных чисел строго обширнее бесконечности рациональных, хотя вторые всюду плотны среди первых: между двумя различными вещественными числами, сколь угодно близкими, всегда вклинивается рациональное.

Итог

Вещественное — это пополненное рациональное: переход к пределу всегда куда-то приводит.