Предел

Определение

Функция $f$f стремится к $L$L при $x$x, стремящемся к $a$a, если $f(x)$f(x) можно сделать сколь угодно близким к $L$L, взяв $x$x достаточно близко к $a$a.

Сама точка $a$a исключена. В этом и состоит весь смысл понятия: предел описывает окрестность, а не значение.

Что определение обязано запретить

«Сколь угодно близко» не является математической фразой, пока не сказано, кто выбирает и в каком порядке. Формулировка $\varepsilon$ε–$\delta$δ закрепляет и то, и другое:

$\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0 : 0 < |x - a| < \delta \implies |f(x) - L| < \varepsilon$∀ε>0, ∃δ>0:0<∣x−a∣<δ⟹∣f(x)−L∣<ε

Противник сначала задаёт допуск $\varepsilon$ε на стороне прибытия; затем нужно предъявить допуск $\delta$δ на стороне отправления, который его обеспечит. Порядок кванторов и есть утверждение: $\delta$δ зависит от $\varepsilon$ε, но никогда наоборот.

Случай, оправдывающий всё

Рассмотрим $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$f(x)=x−1x2−1​.

При $x = 1$x=1 выражение лишено смысла: знаменатель обращается в нуль. Однако при любом $x \neq 1$x=1 дробь сокращается:

$\frac{x^2 - 1}{x - 1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x - 1} = x + 1$x−1x2−1​=x−1(x−1)(x+1)​=x+1

Значит, функция равна $x + 1$x+1 всюду, кроме точки 1, где она не определена. Её предел в 1 равен 2 — значению, которого функция никогда не принимает.

Три вида поведения

У последних двух предела нет. Расходиться и колебаться — два разных способа не иметь предела: у первого есть направление, у второго его нет.

Отсюда следует непрерывность

Функция непрерывна в точке $a$a, когда выполняются три условия сразу: $f(a)$f(a) существует, предел в $a$a существует, и они совпадают.

$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$x→alim​f(x)=f(a)

Функция из предыдущего раздела нарушает первое: её предел существует, а значение — нет. Её можно сделать непрерывной, положив $f(1) = 2$f(1)=2 — это называют непрерывным продолжением.

Итог

Предел говорит, к чему стремится функция, независимо от того, чему она равна в самой точке.