Сложный процент

Определение

Сто евро, отданные в долг под 5 % годовых, приносят 5 € за первый год. Остаётся решить судьбу этих 5 €. Если их изъять, отданный в долг капитал останется 100 €, и второй год принесёт снова 5 €. Если оставить их на месте, капитал станет 105 €, и второй год принесёт 5,25 € — ведь проценты первого года теперь и сами приносят проценты.

Сложный процент — это процент, начисляемый на капитал, к которому присоединены проценты предыдущих периодов. У этого присоединения есть имя: капитализация.

Механизм, стало быть, целиком заключён в одном правиле обращения с начисленными процентами: выплачивать их получателю или включать их в капитал. Ничто иное не отличает два способа расчёта.

Простой и сложный процент

Обозначим через $C$C начальный капитал, через $i$i — ставку за период, выраженную дробью (5 % записывается как $0{,}05$0,05), и через $n$n — число периодов.

При простом проценте каждый период приносит одну и ту же сумму $Ci$Ci, всегда рассчитанную на начальный капитал:

$V_n = C\,(1 + n\,i)$Vn​=C(1+ni)

При сложном проценте каждый период умножает накопленную сумму на один и тот же множитель $1+i$1+i — знаменатель прогрессии:

$V_n = C\,(1 + i)^n$Vn​=C(1+i)n

Оба способа совпадают на одном периоде, поскольку никакие проценты ещё не могли быть капитализированы. Разделяет их именно срок, и разрыв не пустячен. Для 100 € под 5 % годовых:

Как только ставка положительна, отношение двух столбцов растёт вместе с $n$n неограниченно: числитель $(1+i)^n$(1+i)n растёт геометрически, со знаменателем прогрессии $1+i > 1$1+i>1, тогда как знаменатель дроби $1+ni$1+ni растёт лишь линейно. Никакой срок, стало быть, не ограничивает преимущество капитализации — оно продолжает расширяться до тех пор, пока капитал остаётся на месте.

Почему прогрессия геометрическая

Значение на конец периода всегда получается одним и тем же образом из значения предыдущего периода:

$V_{k+1} = V_k + i\,V_k = V_k\,(1+i)$Vk+1​=Vk​+iVk​=Vk​(1+i)

Процент, приносимый за каждый период, пропорционален наличной сумме, а эта сумма возрастает: получаемая величина, стало быть, растёт вместе с нею, тогда как при простом проценте она оставалась застывшей. Поскольку множитель $1+i$1+i не зависит ни от $k$k, ни от $V_k$Vk​, применение этого соотношения $n$n раз подряд даёт $V_n = C(1+i)^n$Vn​=C(1+i)n — рассуждение по индукции, где шаг индукции есть это самое равенство, а база индукции — $V_0 = C$V0​=C.

Это свойство — приращение, пропорциональное уже наличной величине, — есть характеристическое свойство экспоненциального роста, коль скоро коэффициент пропорциональности остаётся одним и тем же в каждом периоде. В дискретном времени, период за периодом, оно принимает вид геометрической прогрессии.

Время удвоения

Сколько периодов нужно, чтобы капитал удвоился? Достаточно решить $(1+i)^n = 2$(1+i)n=2:

$n = \frac{\ln 2}{\ln(1+i)}$n=ln(1+i)ln2​

Это число не зависит от капитала: удвоить 100 € или 100 миллионов требует одного и того же времени, потому что формула мультипликативна.

Поскольку $\ln 2 \approx 0{,}693$ln2≈0,693, а $\ln(1+i) \approx i$ln(1+i)≈i для малых ставок, получаем сначала $n \approx 69{,}3/(100\,i)$n≈69,3/(100i). На практике это число повышают до 72, что даёт приближение, известное как правило 72: время удвоения равно примерно $72/(100\,i)$72/(100i), то есть 72, делённое на ставку, выраженную в процентах. Такая замена — удобство расчёта, а не точный результат: 72 делится нацело на большее число целых, чем 69 или 70 — два целых, между которыми лежит 69,3. Сверх того, это повышение исправляет смещение, оставляемое приближением $\ln(1+i) \approx i$ln(1+i)≈i: оно обнуляет его около 8 %, превосходит его при более низких ставках и не вполне покрывает при более высоких.

Приближение превосходно около 8 % и ухудшается на обоих краях: оно завышает срок для более низких ставок и занижает его для более высоких. Это средство устного счёта, а не замена формуле.

Частота капитализации

Объявленной ставки недостаточно, чтобы определить доходность: надо знать, с каким ритмом проценты включаются в капитал. По соглашению, годовая номинальная ставка $i$i, капитализируемая $m$m раз в год, применяет $m$m раз периодическую ставку $i/m$i/m — математически это ничем не предписано, таково рыночное соглашение. По истечении года, то есть после $m$m периодов капитализации, капитал, стало быть, равен:

$C\left(1 + \frac{i}{m}\right)^{m}$C(1+mi​)m

Эффективная ставка за год — это приращение, действительно полученное за год, то есть $(1+i/m)^m - 1$(1+i/m)m−1. Для номинальной ставки 10 %:

При положительной номинальной ставке более частая капитализация, стало быть, повышает эффективную ставку. Две номинальные ставки поэтому сопоставимы, лишь будучи приведены к одной частоте — или преобразованы в эффективные.

Но выигрыш иссякает: последовательность не улетает вверх, она сходится. Её предел при неограниченном росте $m$m определяет непрерывную капитализацию:

$\lim_{m \to \infty} \left(1 + \frac{i}{m}\right)^{m} = e^{\,i}$m→∞lim​(1+mi​)m=ei

где $e \approx 2{,}71828$e≈2,71828 — замечательное число, получаемое в случае $i = 1$i=1, то есть $\lim_{m \to \infty}(1+1/m)^m$limm→∞​(1+1/m)m. Здесь $e^{0{,}1} \approx 1{,}105171$e0,1≈1,105171, то есть 10,5171 % эффективных. Между ежедневной капитализацией и непрерывной остаётся менее двух тысячных процентного пункта: за известным ритмом увеличение частоты почти ничего уже не меняет.

Этот предел имеет собственную ценность, которой расчёт при конечном $m$m не даёт: $e^{\,i}$ei больше не зависит от $m$m. Он доставляет, стало быть, единый ориентир, не зависящий от ритма капитализации, и запись $C\,e^{\,iT}$CeiT — где $T$T есть срок, считаемый в годах, то есть $n = mT$n=mT периодов капитализации, — которая поддаётся более простым преобразованиям, чем $C(1+i/m)^{mT}$C(1+i/m)mT.

Образ снежного кома

Капитализацию часто описывают как снежный ком: катясь, он подбирает снег, растёт, и возросшая поверхность заставляет его подбирать ещё больше. Образ верно передаёт существенную черту — приращение зависит от уже достигнутого размера.

Он перестаёт быть верным в одном: у настоящего склона есть длина, у снега — конечное количество, и ком в конце концов останавливается или разбивается. В формуле же $C(1+i)^n$C(1+i)n нет никакого члена насыщения: ничто в ней не ограничивает рост. Аналогия проясняет механизм, она ничего не доказывает и не должна приниматься за описание пределов действительного механизма.

Что предполагает формула

Равенство $V_n = C(1+i)^n$Vn​=C(1+i)n точно при четырёх условиях, а его результат верно истолковывается лишь при двух других.

Чтобы формула была применима:

• Постоянная ставка на всём горизонте. Если ставка меняется от периода к периоду, множители надо перемножать один за другим: $V_n = C\,(1+i_1)(1+i_2)\cdots(1+i_n)$Vn​=C(1+i1​)(1+i2​)⋯(1+in​). Степень есть лишь тот частный случай, когда все ставки равны.
• Действительная капитализация. Проценты, выплачиваемые и изымаемые каждый период, относятся к простому проценту, каким бы именем ни был назван продукт.
• Нетронутый капитал. Всякое пополнение или изъятие капитала по ходу дела выпадает из формулы: каждый поток надо тогда капитализировать отдельно, начиная с его собственной даты.
• Только пропорциональные удержания. Постоянная плата за период выводит значение из формы $C(1+i)^n$C(1+i)n, поскольку тогда вычитается сумма, которую множитель не в силах поглотить. Пропорциональное же удержание форму сохраняет — но меняет ставку, которую следует применять, о чём говорит следующее условие.

Чтобы результат что-то значил:

• Верная ставка. Пропорциональные комиссии и налоги, удерживаемые каждый период, уменьшают множитель: в формуле должна стоять чистая ставка. Разрыв между валовой и чистой величиной тогда углубляется со сроком, а их отношение растёт как $n$n-я степень $(1+i)/(1+i_{\mathrm{net}})$(1+i)/(1+inet​).
• Устойчивая единица измерения. Доходность в 5 % в текущих евро при росте цен на 3 % оставляет не 2 % добавочной покупательной способности, а $1{,}05/1{,}03 - 1 \approx 1{,}94\,\%$1,05/1,03−1≈1,94%: ставки перемножаются, а не складываются. Вычитание — лишь приближение к этому, тем более грубое, чем выше ставки. (Слово номинальный принимает здесь второй смысл — до поправки на инфляцию, в противоположность реальной доходности, — который не следует смешивать с номинальной ставкой из раздела о частоте капитализации, противопоставленной там эффективной ставке.)

Наконец, два замечания. Механизм безразличен к направлению займа: долг, невыплаченные проценты по которому присоединяются к капиталу, растёт ровно по той же формуле. И если $i$i заключено между $-1$−1 и $0$0, множитель $1+i$1+i заключён между 0 и 1: та же геометрическая прогрессия описывает тогда убывание, всё более медленное по абсолютной величине.

Итог

Сложный процент заставляет процент начисляться на уже полученные проценты: сумма следует геометрической прогрессии со знаменателем $1+i$1+i, и её преимущество перед простым процентом, как только ставка положительна, растёт со сроком неограниченно.