1. Цель и предварительные знания

Предварительно: уметь вычислять темп изменения между двумя точками и понимать простой предел. Цель — построить производную из этих двух идей и затем интерпретировать её как наклон и мгновенное изменение.

В конце вы сможете объяснить разностное отношение, вычислить простую производную по определению и записать уравнение касательной.

2. От секущих к касательной

Для функции f и аргумента a возьмём второй аргумент a+h. Темп изменения между двумя точками равен

(f(a+h)-f(a))/h, где h≠0.

Геометрически это наклон секущей через (a,f(a)) и (a+h,f(a+h)). Когда h уменьшается, вторая точка приближается к первой. Если наклоны секущих стремятся к единственному значению, оно описывает локальный наклон кривой.

3. Определение производной в точке

f дифференцируема в a, если существует и конечен предел

f'(a)=lim_{h→0}(f(a+h)-f(a))/h.

Число f'(a) называется производной f в точке a.

Это локальное утверждение. Оно не означает, что функция вблизи a является точной прямой, а означает, что на достаточно малом масштабе её изменение хорошо приближается прямой с наклоном f'(a).

4. Геометрический смысл и уравнение касательной

Касательная к графику f в A=(a,f(a)) имеет наклон f'(a). Её уравнение:

y=f(a)+f'(a)(x-a).

Знак f'(a) даёт локальную информацию: положительный — кривая возрастает рядом с точкой, отрицательный — убывает, нулевой — касательная горизонтальна. Нулевая производная сама по себе не доказывает максимум или минимум.

5. Решённый пример по определению

Пусть f(x)=x² и a=2.

(f(2+h)-f(2))/h=((2+h)²-4)/h.

После раскрытия скобок: (4+4h+h²-4)/h=(4h+h²)/h=4+h при h≠0.

При h→0 выражение 4+h стремится к 4. Поэтому f'(2)=4.

Касательная проходит через (2,4) и имеет наклон 4:

y=4+4(x-2)=4x-4.

Расчёт показывает происхождение производной без предварительного использования правила (x²)'=2x.

6. Мгновенное изменение и единицы

Если f — положение в метрах, а аргумент — время в секундах, средний темп имеет единицу м/с. Производная сохраняет эту единицу, но описывает мгновенное предельное значение.

Она не измеряет конечный интервал напрямую: это значение, к которому стремятся средние темпы при стягивании интервала к точке.

7. Практика

7.1. Найти производную по определению

Для f(x)=x² вычислите f'(3) как предел (f(3+h)-f(3))/h при h→0. Сначала раскройте скобки и упростите выражение, затем найдите предел и интерпретируйте результат как наклон.

Разбор. При h≠0 отношение упрощается до 6+h, поэтому предел равен 6; касательная при x=3 имеет наклон 6.

7.2. Наблюдать мгновенную скорость

Положение задано s(t)=t² метров, t в секундах. Вычислите средние скорости от t=2 до t=2+h для h=1, 0,5 и 0,1. Сравните их и объясните, что означает их приближение к одному значению.

Критерии успеха. Отношения используют правильные интервалы времени, указана единица м/с, а объяснение различает среднее на интервале и мгновенный предельный результат.

7.3. Получить производную без готового правила

Для g(x)=x³ найдите g'(1) по определению через (g(1+h)-g(1))/h. Затем запишите уравнение касательной при x=1 и обоснуйте каждый шаг.

Критерии успеха. Ответ раскрывает куб, выносит h до перехода к пределу, получает правильный наклон и строит касательную через (1,1), не ссылаясь напрямую на (x³)'=3x².

8. Итог

Производная в точке — предел темпов изменения. Эти темпы являются наклонами секущих; их предел даёт наклон касательной. То же число может описывать мгновенное изменение с единицами, заданными контекстом.

9. Источники программы

• Министерство образования Франции — программа Première générale 2026, раздел « Dérivation »: официальный бюллетень.
• UK Department for Education — GCE AS and A level Mathematics, раздел G « Differentiation »: официальный документ.

10. Примечание о редакции

Курс подготовлен 26 сентября 2026 года по двум официальным рамкам разных стран. Расчёты перепроверены; восемь языковых версий прошли два просмотра одной и той же моделью. Независимая человеческая проверка и измеренный прирост обучения не заявляются.