El análisis real
Qué estudia el análisis
El análisis real estudia las funciones de una variable real mediante una sola herramienta: el paso al límite. Continuidad, derivada, integral, series — todo se reduce a ello.
No es un conjunto de resultados independientes. Es un edificio asentado sobre una única propiedad, y se derrumba entero si se la retira.
El cimiento único
Esa propiedad es la completitud: todo subconjunto no vacío y acotado superiormente de R tiene supremo.
Los grandes teoremas del análisis no solo se deducen de ella — le son equivalentes. Admitir uno equivale a admitir la completitud, y recíprocamente.
| Teorema | Enunciado |
|---|---|
| Valores intermedios | Una función continua que cambia de signo se anula |
| Valores extremos | Una función continua en un intervalo cerrado alcanza su máximo |
| Bolzano-Weierstrass | Toda sucesión acotada tiene una subsucesión convergente |
| Criterio de Cauchy | Toda sucesión de Cauchy converge |
El edificio sobre ℚ
La mejor manera de ver qué aporta la completitud es retirarla. Situémonos en Q, donde falta, y tomemos:
f(x)=x2−2en[1,2]∩Q
Esta función es continua, f(1)=−1<0 y f(2)=2>0. El teorema de los valores intermedios exigiría que se anulara. No se anula: su raíz es 2, que no es racional.
El mismo hueco derriba a los otros tres. La sucesión de aproximaciones decimales de 2 es de Cauchy en Q y no converge allí; está acotada y no admite allí ninguna subsucesión convergente.
Derivada e integral son límites
Las dos operaciones centrales no son más que pasos al límite disfrazados:
f′(a)=h→0limhf(a+h)−f(a)
La integral de Riemann es igualmente el límite de sumas de áreas de rectángulos cuya anchura tiende a cero.
Ninguna de las dos tiene sentido sin la garantía de que esos límites existen. Por eso el cálculo diferencial e integral no habría podido fundarse solo sobre los racionales.
Lo que «riguroso» acabó por significar
El análisis funcionó largo tiempo con intuiciones de continuidad y de infinitamente pequeño que daban resultados correctos sin que se supiera por qué.
La formulación ε–δ y la construcción explícita de R sustituyeron esas intuiciones por enunciados verificables. La ganancia no está en hallar resultados nuevos: está en poder decir exactamente de qué hipótesis depende cada teorema.
Resumen
Quite la completitud y el análisis cesa: sus teoremas le son equivalentes, no solo subordinados.