El valor temporal del dinero
Definición HECHO
Recibir 1 000 € hoy o 1 000 € dentro de un año: ambos importes se escriben de la misma manera y, sin embargo, no son la misma cosa. El de hoy puede colocarse, y valdrá más dentro de un año siempre que la colocación rinda. La operación inversa es posible — obtener hoy una suma esperada más tarde es endeudarse — y su precio tiene el mismo origen: el rendimiento al que renuncia el prestamista, por debajo del cual la tasa exigida no bajará.
El valor temporal del dinero es el principio según el cual un importe solo tiene significación económica asociado a una fecha, y según el cual dos importes con fechas distintas solo se comparan una vez referidos a una fecha común. Mientras el empleo alternativo rinda un rendimiento positivo, una suma disponible antes vale más que una suma disponible después.
Sumar o restar directamente dos importes de fechas distintas es, por tanto, un error de la misma naturaleza que sumar longitudes expresadas en unidades distintas.
El origen de esa diferencia no está en el tiempo mismo: está en la existencia de un empleo alternativo. Si ninguna colocación rindiera nada, ambas sumas se equivaldrían. Es porque un capital disponible puede emplearse — y porque ese empleo rinde — por lo que la espera cuesta. El valor temporal del dinero es así el coste de oportunidad aplicado al calendario: lo que cuesta la espera es el rendimiento del mejor empleo al que hace renunciar.
Actualizar, la operación inversa de la capitalización HECHO
La capitalización transporta una suma hacia el futuro multiplicándola por (1+i)n. La pregunta que se plantea aquí es simétrica: ¿qué suma de hoy equivale a un importe Vn disponible dentro de n periodos? Aquella que, capitalizada, devolvería exactamente Vn. Basta pues con dividir en lugar de multiplicar.
V0=(1+i)nVn
Esa operación se llama actualización, V0 es el valor actual del flujo, y el número 1/(1+i)n el factor de actualización — aquel por el que se multiplica el flujo futuro. Mientras i sea positiva, ese factor es inferior a 1 y decrece geométricamente con el vencimiento.
| Vencimiento (al 5 % por periodo) | Factor de actualización | Valor actual de 1 000 € |
|---|---|---|
| 1 periodo | 0,952381 | 952,38 € |
| 5 periodos | 0,783526 | 783,53 € |
| 10 periodos | 0,613913 | 613,91 € |
| 30 periodos | 0,231377 | 231,38 € |
Capitalización y actualización son pues una sola y misma relación, leída en dos sentidos. Toda propiedad de una tiene su contrapartida en la otra: mientras la tasa siga siendo positiva, el factor de actualización decrece tanto más deprisa cuanto más alta es la tasa, y un flujo muy lejano tiene un valor actual arbitrariamente pequeño.
La tasa de actualización es un coste de oportunidad HECHO
La tasa i empleada para actualizar no es una propiedad de la suma actualizada. Es el rendimiento del mejor empleo alternativo comparable al que se destinaría el capital si no estuviera inmovilizado en la operación examinada.
De ello se derivan tres consecuencias, a menudo mal comprendidas.
- La tasa depende de quién calcula. Dos personas que disponen de opciones distintas actualizan legítimamente el mismo flujo a tasas distintas, y llegan a valores actuales distintos. No es una incoherencia: no renuncian a lo mismo.
- No existe una tasa «verdadera» legible en el flujo. La tasa es una elección argumentada, cuya justificación es la alternativa tomada como referencia. Cambiar la alternativa cambia el resultado.
- El valor actual es muy sensible a esa elección, tanto más cuanto más largo es el horizonte, puesto que el factor 1+i está elevado allí a la potencia n. Una comparación honesta examina por tanto cómo se desplaza la conclusión cuando la tasa varía.
Comparar una serie de flujos: el valor actual neto HECHO
La mayoría de las decisiones no versan sobre un importe único, sino sobre una serie de sumas escalonadas: una salida inicial, y luego unas entradas. Cada una se refiere a la fecha de referencia, y los valores actuales — ya homogéneos — se suman. Contando negativamente las salidas, la suma de esos valores actuales es el valor actual neto (VAN).
VAN=t=0∑n(1+i)tFt
donde Ft es el flujo neto del periodo t, contado negativamente si se trata de una salida. El flujo de la fecha 0 no se actualiza, pues su factor vale 1.
Sea una salida de 1 000 € hoy frente a tres entradas de 400 € en los periodos 1, 2 y 3. A una tasa del 5 %:
VAN=−1000+1,05400+1,052400+1,053400=−1000+380,95+362,81+345,54=89,30
El VAN es positivo: la operación rinde 89,30 € más, en euros de hoy, que la colocación de referencia al 5 %.
El mismo cálculo al 15 % da −1000+347,826+302,457+263,006≈−86,71. El VAN es negativo, y los mismos flujos pasan a ser desventajosos. Nada ha cambiado salvo la alternativa con la que se los compara: el VAN no mide una cualidad intrínseca, sino una diferencia respecto de una referencia.
Es justamente esa diferencia, y no un saldo bruto, lo que decide. Se observará en efecto que el total no actualizado de las entradas, 1 200 €, supera la salida de 1 000 € en ambos casos: esa comparación no zanja nada, puesto que suma importes de fechas distintas.
De esa lectura en términos de diferencia se desprende la regla de decisión: si VAN>0, la operación es preferible a la alternativa de referencia; si VAN=0, ambas se equivalen; si VAN<0, la alternativa es preferible.
La tasa interna de retorno HECHO
Puesto que el VAN depende de la tasa, cabe invertir la pregunta y buscar la tasa que lo anula. Esa tasa es la tasa interna de retorno (TIR): el valor de i para el cual la operación y su alternativa de referencia se equivalen exactamente.
En el ejemplo anterior, la TIR vale aproximadamente 9,70 %, valor obtenido por resolución numérica: la ecuación es polinómica de grado n, sin fórmula general por radicales más allá del grado 4, e impracticable a mano mucho antes. Cuando un solo flujo futuro se enfrenta a un importe inicial, la TIR se calcula en cambio directamente: i=(Vn/V0)1/n−1. Su lectura es directa: la operación es preferible a toda alternativa que rinda menos de 9,70 %, y desventajosa frente a toda alternativa que rinda más. Es el punto de inflexión observado entre los dos cálculos, al 5 % y al 15 %.
Conviene conocer dos límites. Anular el VAN equivale a resolver ∑tFtxt=0, donde x=1/(1+i); solo las raíces x>0 — es decir i>−1 — tienen sentido, y la TIR se deduce de ellas mediante i=1/x−1. Mientras los flujos solo cambien de signo una vez — una salida, y luego entradas — tal raíz existe y es única, pudiendo por lo demás ser negativa la TIR si las entradas totalizan menos que la salida. Cuando cambian de signo varias veces, la ecuación puede admitir varias raíces admisibles, o ninguna, y la TIR deja entonces de estar definida de forma unívoca. Por otra parte, al ser una tasa, no dice nada del tamaño de la operación: una TIR elevada sobre una suma pequeña puede crear menos valor que una TIR modesta sobre una grande. Para clasificar operaciones concurrentes, el VAN, que se expresa en importe, sigue siendo la magnitud pertinente.
El caso de los flujos inciertos HIPÓTESIS
Las fórmulas anteriores suponen flujos conocidos en importe y en fecha. En cuanto el importe futuro es incierto, caben dos ajustes distintos: ponderar los flujos por su probabilidad, y elevar la tasa de actualización con una prima de riesgo por encima del rendimiento de un empleo reputado como seguro. Ambos ajustes se practican corrientemente — es su justificación, no su existencia, lo que sigue discutiéndose.
No son de la misma naturaleza. El primero no es más que el cálculo de una esperanza: está bien definido en cuanto lo están las probabilidades. Pero decidir solo con la esperanza supone ya la indiferencia ante el riesgo — hipótesis que el segundo ajuste rechaza precisamente, sin por ello derivarse del principio: el principio dice que hay que referir los flujos a una fecha común, no dice en cuánto elevar la tasa. La magnitud de la prima apropiada, e incluso la legitimidad de hacer que una tasa única cargue con dos cosas tan distintas como el transcurso del tiempo y la exposición al riesgo, siguen discutiéndose. Se tendrá pues la actualización de un flujo incierto por una práctica convencional, cuyo resultado no tiene el mismo estatuto que el cálculo sobre flujos ciertos.
Lo que el principio supone HECHO
- Una misma unidad. Los flujos deben expresarse en la misma moneda y tratarse de forma homogénea respecto de la inflación: unos flujos en unidades corrientes se actualizan a una tasa nominal, la que no está corregida de la inflación, y unos flujos expresados en poder adquisitivo constante a una tasa real, la que se obtiene mediante (1+i)/(1+π)−1 — donde i designa aquí la tasa nominal y π la tasa de inflación del periodo — y no por simple resta. Mezclar ambas es el error más frecuente del cálculo de actualización. (La palabra nominal se opone aquí a real; como se ha señalado en el principio anterior, en otro lugar se opone a efectiva y supone entonces una frecuencia de capitalización dada.)
- Una tasa adaptada a cada vencimiento. Nada obliga a que la tasa sea única en todo el horizonte. Si difiere según el periodo, el factor pasa a ser un producto de factores sucesivos, y la escritura en potencia no es más que el caso particular a tasa constante.
- Fechas explícitas. La actualización exige conocer la fecha de cada flujo, no solo su importe: n es un parámetro del cálculo tanto como i.
- Una alternativa realmente disponible. El VAN compara con un empleo que se supone accesible por los mismos importes y en las mismas fechas. Si la alternativa está limitada o no está disponible, la tasa retenida ya no mide aquello a lo que efectivamente se renuncia.
Una observación, por último. Si i está comprendida entre $-1$ y 0, el factor de actualización supera 1, y una suma futura vale más que la misma suma hoy. El principio no afirma pues que el dinero pierda valor con el tiempo — afirma que un importe sin fecha está incompleto, y que el sentido de la diferencia lo fija el signo de la tasa.
Resumen
Un importe solo tiene sentido acompañado de su fecha: para comparar sumas escalonadas en el tiempo hay que referirlas a una fecha común dividiéndolas por (1+i)n, a la tasa del mejor empleo alternativo.