1. Objetivos y prerrequisitos

Prerrequisito: evaluar una función y leer dos puntos de su gráfica. Aprenderás a calcular una tasa de variación, interpretarla como pendiente de una secante, conservar las unidades y comparar intervalos.

2. Definición: cambio de salida por cambio de entrada

Para dos entradas distintas a y b, la tasa de variación de f entre a y b es (f(b)-f(a))/(b-a). El numerador Δy=f(b)-f(a) mide el cambio de salida y el denominador Δx=b-a mide el cambio de entrada. Se requiere b≠a para evitar una división por cero.

3. Significado geométrico: pendiente de una secante

Los puntos A=(a,f(a)) y B=(b,f(b)) están en la gráfica. La recta que pasa por ambos es una secante. Su pendiente es exactamente Δy/Δx. Una tasa positiva da una secante ascendente, una negativa una descendente y una tasa nula una secante horizontal.

4. Unidades y representaciones

Las unidades son unidades de salida divididas por unidades de entrada: km/h, °C/h, €/unidad, etc. Puede calcularse desde una fórmula o una tabla y estimarse en una gráfica leyendo dos puntos. Las lecturas gráficas pueden estar redondeadas y ser menos precisas que los valores exactos.

5. Ejemplo resuelto

Para f(x)=x² entre 1 y 3, f(1)=1 y f(3)=9. Entonces Δy=8, Δx=2 y la tasa de variación es 8/2=4. Geométricamente, la secante por (1,1) y (3,9) tiene pendiente 4.

6. Práctica

6.1. Calcular con una función cuadrado

Para f(x)=x², calcula la tasa de variación entre x=1 y x=4. Detalla f(1), f(4), Δx, Δy y después el cociente Δy/Δx.

Corrección guiada. f(1)=1 y f(4)=16; Δy=15 y Δx=3; la tasa es 5.

6.2. Comparar un cambio de temperatura

La temperatura es 12 °C a las 8 h, 18 °C a las 11 h y 20 °C a las 15 h. Calcula la tasa media de variación en 8–11 h y 11–15 h, en °C/h. Compara los intervalos y explica por qué los promedios no prueban que la temperatura haya cambiado a velocidad constante.

Criterios de éxito. Los dos cocientes usan las duraciones correctas, las unidades son explícitas y la conclusión distingue promedio en un intervalo y cambio instantáneo.

6.3. Comparar dos intervalos sin copiar una fórmula

Para g(x)=x²+1, calcula la tasa de variación en [-1,2] y en [2,3]. Compara los resultados y usa las dos secantes para explicar qué dice la diferencia sobre la evolución de g.

Criterios de éxito. La justificación reconstruye los dos cocientes a partir de valores de g, compara correctamente las pendientes medias y no las presenta como derivadas.

7. Síntesis

Una tasa de variación es un cociente de cambios: Δy/Δx. Describe el cambio medio entre dos entradas distintas, coincide con la pendiente de la secante correspondiente y conserva unidades interpretables.

8. Fuentes curriculares

• Ministerio de Educación de Francia — programa de especialidad de matemáticas de première générale 2026, anexo p. 360, « Dérivation »: boletín oficial.
• California Department of Education — F-IF.6, cálculo e interpretación de la tasa media de variación: California Content Standards.

9. Nota de revisión

Lección preparada el 25 de septiembre de 2026 a partir de dos referencias oficiales de países distintos. Los ejemplos numéricos fueron recalculados; texto y traducciones se prepararon con IA. No se afirma una mejora de aprendizaje medida.