1. Objetivos y prerrequisitos

Prerrequisito: evaluar una función y leer dos puntos de su gráfica. Aprenderás a calcular una tasa de variación, interpretarla como pendiente de una secante, conservar las unidades y comparar intervalos.

2. Definición: cambio de salida por cambio de entrada

Para dos entradas distintas a y b, la tasa de variación de f entre a y b es (f(b)-f(a))/(b-a). El numerador Δy=f(b)-f(a) mide el cambio de salida y el denominador Δx=b-a mide el cambio de entrada. Se requiere b≠a para evitar una división por cero.

3. Significado geométrico: pendiente de una secante

Los puntos A=(a,f(a)) y B=(b,f(b)) están en la gráfica. La recta que pasa por ambos es una secante. Su pendiente es exactamente Δy/Δx. Una tasa positiva da una secante ascendente, una negativa una descendente y una tasa nula una secante horizontal.

4. Unidades y representaciones

Las unidades son unidades de salida divididas por unidades de entrada: km/h, °C/h, €/unidad, etc. Puede calcularse desde una fórmula o una tabla y estimarse en una gráfica leyendo dos puntos. Las lecturas gráficas pueden estar redondeadas y ser menos precisas que los valores exactos.

5. Ejemplo resuelto

Para f(x)=x² entre 1 y 3, f(1)=1 y f(3)=9. Entonces Δy=8, Δx=2 y la tasa de variación es 8/2=4. Geométricamente, la secante por (1,1) y (3,9) tiene pendiente 4.

6. Práctica

6.1. Calcular con una función cuadrado

Para f(x)=x², calcula la tasa de variación entre x=1 y x=4. Detalla f(1), f(4), Δx, Δy y después el cociente Δy/Δx.

Corrección guiada. f(1)=1 y f(4)=16; Δy=15 y Δx=3; la tasa es 5.

6.2. Comparar un cambio de temperatura

La temperatura es 12 °C a las 8 h, 18 °C a las 11 h y 20 °C a las 15 h. Calcula la tasa media de variación en 8–11 h y 11–15 h, en °C/h. Compara los intervalos y explica por qué los promedios no prueban que la temperatura haya cambiado a velocidad constante.

Criterios de éxito. Los dos cocientes usan las duraciones correctas, las unidades son explícitas y la conclusión distingue promedio en un intervalo y cambio instantáneo.

6.3. Comparar dos intervalos sin copiar una fórmula

Para g(x)=x²+1, calcula la tasa de variación en [-1,2] y en [2,3]. Compara los resultados y usa las dos secantes para explicar qué dice la diferencia sobre la evolución de g.

Criterios de éxito. La justificación reconstruye los dos cocientes a partir de valores de g, compara correctamente las pendientes medias y no las presenta como derivadas.

7. Profundización: el intervalo cambia la lectura

7.1. Una función, varias tasas

La tasa depende de los dos extremos elegidos. Para f(x)=x², en [0,1] vale 1 y en [1,2] vale 3. En [-1,1] vale 0 aunque la función no sea constante dentro del intervalo. Por tanto, una tasa media resume la evolución entre extremos y no describe cada instante intermedio.

Comparar intervalos permite detectar aceleración, ralentización o cambios de sentido sin hablar todavía de derivada.

7.2. Tasa absoluta, porcentaje y unidades

Δy/Δx no es automáticamente un porcentaje. Un aumento de 20 € en 4 días equivale a 5 €/día. Un porcentaje responde a otra pregunta porque compara el cambio con un valor de referencia. Mezclar ambos cocientes altera el significado.

Las unidades forman parte del resultado y distinguen 5 km/h, 5 °C/h o 5 €/unidad. Cambiar la unidad de entrada cambia también el valor numérico: 60 km/h equivale a 1 km/min.

7.3. Fórmula, tabla y gráfica no tienen la misma precisión

Con valores exactos una fórmula puede dar un cociente exacto. Una tabla hereda la precisión de las mediciones. En una gráfica las coordenadas suelen leerse de forma aproximada, por lo que la pendiente debe presentarse como estimación.

Para comparar tasas hay que conservar intervalos y signos coherentes. Invertir ambos extremos cambia a la vez los signos de Δx y Δy y deja igual el cociente.

7.4. Errores y confusiones frecuentes

Errores frecuentes: olvidar dividir por el cambio de entrada, permitir b-a=0, omitir unidades, confundir tasa media con cambio total o porcentaje, usar una tangente cuando se dan dos puntos o afirmar que una tasa media nula implica ausencia de cambio interno.

La tasa responde a cuánto cambia en promedio la salida por unidad de entrada entre dos extremos. La derivada responderá después a una pregunta local.

8. Síntesis

Una tasa de variación es un cociente de cambios: Δy/Δx. Describe el cambio medio entre dos entradas distintas, coincide con la pendiente de la secante correspondiente y conserva unidades interpretables.

9. Fuentes curriculares

• Ministerio de Educación de Francia — programa de especialidad de matemáticas de première générale 2026, anexo p. 360, « Dérivation »: boletín oficial.
• California Department of Education — F-IF.6, cálculo e interpretación de la tasa media de variación: California Content Standards.

10. Nota de revisión

Lección preparada el 25 de septiembre de 2026 a partir de dos referencias oficiales de países distintos. Los ejemplos numéricos fueron recalculados; texto y traducciones se prepararon con IA. No se afirma una mejora de aprendizaje medida.