La probabilidad es una medida entre 0 y 1 sobre los sucesos; tres axiomas bastan para deducir todo lo demás.

La probabilidad

Definición HECHO

Una probabilidad es un número asociado a un suceso, comprendido entre 0 y 1, que mide la parte que ocupa entre todos los resultados posibles.

El conjunto de esos resultados forma el espacio muestral, denotado $\Omega$ . Un suceso es una parte suya: «el dado da un número par» es el subconjunto $\{2, 4, 6\}$ .

Los tres axiomas HECHO

Todo el cálculo de probabilidades descansa sobre tres enunciados, y sobre nada más:

Axioma	Enunciado	Lo que impone
No negatividad	$P(A) \geq 0$	Una probabilidad nunca es negativa
Masa total	$P(\Omega) = 1$	Algo ocurre necesariamente
Aditividad	$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ si $A \cap B = \emptyset$	Los sucesos incompatibles se suman

El tercero se extiende a las uniones numerables, lo que basta para tratar los espacios infinitos.

Lo que de ellos se deduce HECHO

Estas tres reglas no son un punto de partida arbitrario: engendran las identidades usuales.

$P(\bar{A}) = 1 - P(A) \qquad P(\emptyset) = 0 \qquad P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

La última corrige el doble conteo: sumar $P(A)$ y $P(B)$ cuenta dos veces lo que pertenece a ambos, luego hay que restarlo una vez. La aditividad sola solo se aplica a sucesos disjuntos.

Condicionar, y la independencia HECHO

Saber que $B$ ha ocurrido cambia la parte que ocupa $A$ . Se restringe entonces el espacio a $B$ :

$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad P(B) > 0$

Dos sucesos son independientes cuando esa restricción no cambia nada: $P(A \mid B) = P(A)$ , lo que equivale a $P(A \cap B) = P(A)\,P(B)$ .

La independencia es una propiedad numérica, no una intuición. Dos sucesos pueden carecer de vínculo causal y ser dependientes, y también se da lo contrario.

Lo que los axiomas no dicen HECHO

El formalismo fija las reglas de cálculo y calla sobre su sentido. Conviven dos lecturas: la frecuentista, donde una probabilidad es el límite de una frecuencia sobre repeticiones; la bayesiana, donde mide un grado de creencia revisable.

Ambas obedecen los mismos tres axiomas y producen los mismos números. Su desacuerdo atañe a la interpretación, no al cálculo.

Resumen

Tres axiomas fundan todo el cálculo de probabilidades, y ninguno dice qué significa una probabilidad.