La probabilidad
Definición
Una probabilidad es un número asociado a un suceso, comprendido entre 0 y 1, que mide la parte que ocupa entre todos los resultados posibles.
El conjunto de esos resultados forma el espacio muestral, denotado Ω. Un suceso es una parte suya: «el dado da un número par» es el subconjunto {2,4,6}.
Los tres axiomas
Todo el cálculo de probabilidades descansa sobre tres enunciados, y sobre nada más:
| Axioma | Enunciado | Lo que impone |
|---|---|---|
| No negatividad | P(A)≥0 | Una probabilidad nunca es negativa |
| Masa total | P(Ω)=1 | Algo ocurre necesariamente |
| Aditividad | P(A∪B)=P(A)+P(B) si A∩B=∅ | Los sucesos incompatibles se suman |
El tercero se extiende a las uniones numerables, lo que basta para tratar los espacios infinitos.
Lo que de ellos se deduce
Estas tres reglas no son un punto de partida arbitrario: engendran las identidades usuales.
P(Aˉ)=1−P(A)P(∅)=0P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)
La última corrige el doble conteo: sumar P(A) y P(B) cuenta dos veces lo que pertenece a ambos, luego hay que restarlo una vez. La aditividad sola solo se aplica a sucesos disjuntos.
Condicionar, y la independencia
Saber que B ha ocurrido cambia la parte que ocupa A. Se restringe entonces el espacio a B:
P(A∣B)=P(B)P(A∩B),P(B)>0
Dos sucesos son independientes cuando esa restricción no cambia nada: P(A∣B)=P(A), lo que equivale a P(A∩B)=P(A)P(B).
La independencia es una propiedad numérica, no una intuición. Dos sucesos pueden carecer de vínculo causal y ser dependientes, y también se da lo contrario.
Lo que los axiomas no dicen
El formalismo fija las reglas de cálculo y calla sobre su sentido. Conviven dos lecturas: la frecuentista, donde una probabilidad es el límite de una frecuencia sobre repeticiones; la bayesiana, donde mide un grado de creencia revisable.
Ambas obedecen los mismos tres axiomas y producen los mismos números. Su desacuerdo atañe a la interpretación, no al cálculo.
Resumen
Tres axiomas fundan todo el cálculo de probabilidades, y ninguno dice qué significa una probabilidad.