El predicado

Definición

Una proposición es un enunciado que es verdadero o falso: «7 es primo» es verdadero, «8 es primo» es falso.

Un predicado no tiene esa propiedad. «$x$x es primo» no es ni verdadero ni falso: depende de $x$x. Es un enunciado con un hueco, que devuelve un valor de verdad una vez lleno el hueco.

Variable libre, variable ligada

Mientras la variable siga libre, el enunciado carece de valor de verdad. Dos operaciones la cierran:

Una variable cuantificada se dice ligada. Un enunciado sin variable libre es una proposición — tiene un valor de verdad, y uno solo.

El orden de los cuantificadores

Dos cuantificadores de distinta naturaleza no conmutan. Sobre los enteros, con $S(x, y)$S(x,y) para «$y$y es mayor que $x$x»:

$\forall x\, \exists y,\ S(x, y) \quad \text{es verdadero}$∀x∃y, S(x,y)es verdadero

$\exists y\, \forall x,\ S(x, y) \quad \text{es falso}$∃y∀x, S(x,y)es falso

El primero dice: para cada entero existe uno mayor — y el $y$y puede depender del $x$x. El segundo dice: existe un entero mayor que todos — un entero máximo, que no existe.

Los mismos símbolos, en orden inverso, enuncian una verdad y una falsedad. Es el mismo mecanismo que vuelve no conmutativa la definición del límite.

Negar un enunciado cuantificado

La negación atraviesa los cuantificadores intercambiándolos:

$\neg\,\forall x,\ P(x) \iff \exists x,\ \neg P(x)$¬∀x, P(x)⟺∃x, ¬P(x)

$\neg\,\exists x,\ P(x) \iff \forall x,\ \neg P(x)$¬∃x, P(x)⟺∀x, ¬P(x)

Negar «todos son primos» no da «ninguno es primo», sino «existe uno que no lo es». Un solo contraejemplo basta para refutar un universal; refutar un existencial exige recorrer todo el dominio.

El dominio forma parte del enunciado

Un predicado solo se juzga sobre un dominio declarado. «$\exists x,\ x^2 = 2$∃x, x2=2» es falso sobre $\mathbb{Q}$Q y verdadero sobre $\mathbb{R}$R: la fórmula no ha cambiado, el universo sí.

Omitir el dominio es dejar el enunciado indeterminado — no ambiguo en su sentido, sino desprovisto de valor de verdad.

Resumen

Un predicado se vuelve proposición cuando sus variables quedan fijadas o cuantificadas sobre un dominio declarado.