El número real
Definición
Un número real es un punto de la recta continua. Enteros, fracciones, raíces y π ocupan allí un lugar, sin que ninguna posición quede vacía.
Es esta ausencia de huecos lo que define el conjunto R, mucho más que la lista de números que contiene.
Lo que aporta cada ampliación
| Conjunto | Contiene | Hace posible |
|---|---|---|
| N | 0, 1, 2, … | Contar |
| Z | … , −1, 0, 1, … | Restar sin salir |
| Q | Las fracciones p/q | Dividir sin salir |
| R | Los puntos de la recta | Pasar al límite sin salir |
Cada piso repara una carencia del anterior. El último es de otra naturaleza: ya no se trata de una operación que falla, sino de una sucesión que no tiene dónde llegar.
El hueco de los racionales
Ninguna fracción tiene 2 por cuadrado. Supongamos p/q irreducible con (p/q)2=2: entonces p2=2q2, luego p es par, luego p=2m, luego 4m2=2q2, luego q también es par. Ambos son pares, contra la hipótesis de irreducibilidad.
Y sin embargo 2 existe: es la diagonal del cuadrado de lado 1. Los racionales dejan pues un hueco en un lugar perfectamente construible.
La completitud
La propiedad que distingue a R cabe en una frase: todo conjunto no vacío y acotado superiormente tiene supremo.
Tomemos el conjunto de los racionales cuyo cuadrado es menor que 2. No es vacío, está acotado superiormente — pero dentro de Q no tiene una cota superior mínima: siempre puede hallarse otra más ajustada. En R esa cota mínima existe, y es 2.
Esta propiedad caracteriza a R: salvo isomorfismo, es el único cuerpo totalmente ordenado completo.
Un infinito mayor
Los racionales se pueden numerar: cabe ordenarlos en una lista indexada por los enteros. Los reales, no — ninguna lista los agota.
El infinito de los reales es por tanto estrictamente más vasto que el de los racionales, aunque estos sean densos por doquier entre aquellos: entre dos reales distintos, por próximos que estén, siempre se cuela un racional.
Resumen
El real es el racional completado: el paso al límite siempre llega a alguna parte.