El límite
Definición HECHO
Una función f tiende hacia L cuando x tiende hacia a si se puede hacer que f(x) esté tan cerca de L como se quiera, tomando x suficientemente cerca de a.
El punto a queda excluido. En eso reside todo el alcance de la noción: el límite describe un entorno, no un valor.
Lo que la definición debe prohibir HECHO
«Tan cerca como se quiera» no es una frase matemática mientras no se diga quién elige, y en qué orden. La formulación llamada ε–δ fija ambas cosas:
∀ε>0, ∃δ>0:0<∣x−a∣<δ⟹∣f(x)−L∣<ε
El adversario impone primero un margen ε en la llegada; hay entonces que producir un margen δ en la salida que lo garantice. El orden de los cuantificadores es el enunciado: δ depende de ε, nunca al revés.
El caso que lo justifica todo HECHO
Consideremos f(x)=x−1x2−1.
En x=1 la expresión carece de sentido: el denominador se anula. Sin embargo, para todo x=1 se simplifica:
x−1x2−1=x−1(x−1)(x+1)=x+1
La función vale pues x+1 en todas partes salvo en 1, donde no está definida. Su límite en 1 es 2 — un valor que la función nunca alcanza.
Tres comportamientos HECHO
| En un punto | Ejemplo | Comportamiento |
|---|---|---|
| Converge | x−1x2−1 en 1 | Tiende hacia 2 |
| Diverge | x1 en 0 | Crece sin cota |
| Oscila | sin(x1) en 0 | No se fija en ningún valor |
Los dos últimos no tienen límite. Divergir y oscilar son dos maneras distintas de fallar: la primera tiene una dirección, la segunda ninguna.
La continuidad se deduce de ello HECHO
Una función es continua en a cuando se cumplen tres condiciones a la vez: f(a) existe, el límite en a existe, y ambos coinciden.
x→alimf(x)=f(a)
La función de la sección anterior falla en la primera: su límite existe, su valor no. Se la puede volver continua poniendo f(1)=2 — lo que se llama una extensión por continuidad.
Resumen
El límite dice hacia qué tiende una función, con independencia de cuánto vale en el punto.