El límite

Definición

Una función $f$f tiende hacia $L$L cuando $x$x tiende hacia $a$a si se puede hacer que $f(x)$f(x) esté tan cerca de $L$L como se quiera, tomando $x$x suficientemente cerca de $a$a.

El punto $a$a queda excluido. En eso reside todo el alcance de la noción: el límite describe un entorno, no un valor.

Lo que la definición debe prohibir

«Tan cerca como se quiera» no es una frase matemática mientras no se diga quién elige, y en qué orden. La formulación llamada $\varepsilon$ε–$\delta$δ fija ambas cosas:

$\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0 : 0 < |x - a| < \delta \implies |f(x) - L| < \varepsilon$∀ε>0, ∃δ>0:0<∣x−a∣<δ⟹∣f(x)−L∣<ε

El adversario impone primero un margen $\varepsilon$ε en la llegada; hay entonces que producir un margen $\delta$δ en la salida que lo garantice. El orden de los cuantificadores es el enunciado: $\delta$δ depende de $\varepsilon$ε, nunca al revés.

El caso que lo justifica todo

Consideremos $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$f(x)=x−1x2−1​.

En $x = 1$x=1 la expresión carece de sentido: el denominador se anula. Sin embargo, para todo $x \neq 1$x=1 se simplifica:

$\frac{x^2 - 1}{x - 1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x - 1} = x + 1$x−1x2−1​=x−1(x−1)(x+1)​=x+1

La función vale pues $x + 1$x+1 en todas partes salvo en 1, donde no está definida. Su límite en 1 es 2 — un valor que la función nunca alcanza.

Tres comportamientos

Los dos últimos no tienen límite. Divergir y oscilar son dos maneras distintas de fallar: la primera tiene una dirección, la segunda ninguna.

La continuidad se deduce de ello

Una función es continua en $a$a cuando se cumplen tres condiciones a la vez: $f(a)$f(a) existe, el límite en $a$a existe, y ambos coinciden.

$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$x→alim​f(x)=f(a)

La función de la sección anterior falla en la primera: su límite existe, su valor no. Se la puede volver continua poniendo $f(1) = 2$f(1)=2 — lo que se llama una extensión por continuidad.

Resumen

El límite dice hacia qué tiende una función, con independencia de cuánto vale en el punto.