El interés compuesto

Definición

Cien euros prestados a una tasa del 5 % anual rinden 5 € el primer año. Queda por decidir la suerte de esos 5 €. Si se retiran, el capital prestado sigue siendo 100 € y el segundo año rendirá otros 5 €. Si se dejan en su sitio, el capital pasa a ser 105 € y el segundo año rinde 5,25 € — porque el interés del primer año produce ahora interés a su vez.

El interés compuesto es el interés calculado sobre un capital al que se han añadido los intereses de los periodos anteriores. Esa adición tiene un nombre: la capitalización.

El mecanismo está pues enteramente contenido en una regla de gestión de los intereses devengados: abonarlos al beneficiario o incorporarlos al capital. Nada más distingue ambos modos de cálculo.

Interés simple e interés compuesto

Denotemos por $C$C el capital inicial, $i$i la tasa por periodo expresada en fracción (5 % se escribe $0{,}05$0,05) y $n$n el número de periodos.

A interés simple, cada periodo rinde el mismo importe $Ci$Ci, calculado siempre sobre el capital inicial:

$V_n = C\,(1 + n\,i)$Vn​=C(1+ni)

A interés compuesto, cada periodo multiplica la suma acumulada por el mismo factor $1+i$1+i — la razón de la progresión:

$V_n = C\,(1 + i)^n$Vn​=C(1+i)n

Ambos modos coinciden en un solo periodo, puesto que ningún interés ha podido capitalizarse todavía. Es la duración lo que los separa, y la diferencia no es baladí. Para 100 € al 5 % anual:

En cuanto la tasa es positiva, la relación entre ambas columnas crece sin límite con $n$n: el numerador $(1+i)^n$(1+i)n crece geométricamente, de razón $1+i > 1$1+i>1, mientras que el denominador $1+ni$1+ni solo crece de forma afín. Ninguna duración acota, pues, la ventaja de la capitalización — sigue ampliándose mientras el capital siga colocado.

Por qué la progresión es geométrica

El valor al término de un periodo se obtiene siempre de la misma manera a partir del del periodo anterior:

$V_{k+1} = V_k + i\,V_k = V_k\,(1+i)$Vk+1​=Vk​+iVk​=Vk​(1+i)

El interés producido en cada periodo es proporcional a la suma presente, y esa suma aumenta: el importe ganado crece por tanto con ella, mientras que permanecía fijo a interés simple. Como el factor $1+i$1+i no depende ni de $k$k ni de $V_k$Vk​, aplicar la relación $n$n veces seguidas da $V_n = C(1+i)^n$Vn​=C(1+i)n — un razonamiento por inducción, cuyo paso inductivo es esa igualdad y cuyo caso base es $V_0 = C$V0​=C.

Esta propiedad — un incremento proporcional a la cantidad ya presente — es la propiedad característica del crecimiento exponencial, siempre que el coeficiente de proporcionalidad siga siendo el mismo en cada periodo. En tiempo discreto, periodo a periodo, adopta la forma de una progresión geométrica.

El tiempo de duplicación

¿Cuántos periodos hacen falta para que el capital se duplique? Basta con resolver $(1+i)^n = 2$(1+i)n=2:

$n = \frac{\ln 2}{\ln(1+i)}$n=ln(1+i)ln2​

Ese número no depende del capital: duplicar 100 € o 100 millones exige el mismo tiempo, porque la fórmula es multiplicativa.

Como $\ln 2 \approx 0{,}693$ln2≈0,693 y $\ln(1+i) \approx i$ln(1+i)≈i para tasas pequeñas, se obtiene primero $n \approx 69{,}3/(100\,i)$n≈69,3/(100i). El uso eleva ese número a 72, lo que da la aproximación llamada regla del 72: el tiempo de duplicación vale aproximadamente $72/(100\,i)$72/(100i), es decir, 72 dividido por la tasa expresada en porcentaje. Esa sustitución es una comodidad de cálculo, no un resultado exacto: 72 es divisible por más enteros que 69 o 70, los dos enteros entre los que se sitúa 69,3. La elevación corrige además el sesgo que deja la aproximación $\ln(1+i) \approx i$ln(1+i)≈i — lo anula en torno al 8 %, lo supera para las tasas más bajas y no lo colma del todo para las tasas más altas.

La aproximación es excelente en torno al 8 % y se degrada en ambos extremos: sobrestima el plazo para las tasas más bajas y lo subestima para las más altas. Es un instrumento de cálculo mental, no un sustituto de la fórmula.

La frecuencia de capitalización

Una tasa anunciada no basta para determinar un rendimiento: hay que saber a qué ritmo se incorporan los intereses al capital. Por convención, una tasa nominal anual $i$i capitalizada $m$m veces al año aplica $m$m veces la tasa periódica $i/m$i/m — nada lo impone matemáticamente, es una convención de mercado. Al término de un año, es decir, tras $m$m periodos de capitalización, el capital vale por tanto:

$C\left(1 + \frac{i}{m}\right)^{m}$C(1+mi​)m

La tasa efectiva anual es el incremento realmente obtenido a lo largo del año, es decir $(1+i/m)^m - 1$(1+i/m)m−1. Para una tasa nominal del 10 %:

Con una tasa nominal positiva, capitalizar más a menudo aumenta pues la tasa efectiva. Dos tasas nominales solo son comparables, por tanto, una vez referidas a una misma frecuencia — o convertidas en tasas efectivas.

Pero la ganancia se agota: la sucesión no se dispara, converge. Su límite cuando $m$m crece indefinidamente define la capitalización continua:

$\lim_{m \to \infty} \left(1 + \frac{i}{m}\right)^{m} = e^{\,i}$m→∞lim​(1+mi​)m=ei

donde $e \approx 2{,}71828$e≈2,71828 es el número notable obtenido en el caso $i = 1$i=1, es decir $\lim_{m \to \infty}(1+1/m)^m$limm→∞​(1+1/m)m. Aquí $e^{0{,}1} \approx 1{,}105171$e0,1≈1,105171, o sea 10,5171 % efectivo. Entre la capitalización diaria y la capitalización continua quedan menos de dos milésimas de punto porcentual: pasado cierto ritmo, aumentar la frecuencia ya casi no cambia nada.

Ese límite tiene un interés propio que el cálculo con $m$m finito no proporciona: $e^{\,i}$ei ya no depende de $m$m. Ofrece pues una referencia única, independiente del ritmo de capitalización, y una escritura $C\,e^{\,iT}$CeiT — donde $T$T es la duración contada en años, o sea $n = mT$n=mT periodos de capitalización — que se manipula con más sencillez que $C(1+i/m)^{mT}$C(1+i/m)mT.

La imagen de la bola de nieve

A menudo se describe la capitalización como una bola de nieve: al rodar recoge nieve, engorda, y su mayor superficie le hace recoger todavía más. La imagen restituye fielmente el rasgo esencial — el incremento depende del tamaño ya alcanzado.

Deja de ser fiel en un punto: una pendiente real tiene una longitud, la nieve una cantidad finita, y la bola acaba por detenerse o romperse. La fórmula $C(1+i)^n$C(1+i)n, en cambio, no contiene ningún término de saturación: nada en ella acota el crecimiento. La analogía ilumina el mecanismo, no prueba nada y no debe tomarse por una descripción de los límites del mecanismo real.

Lo que la fórmula supone

La igualdad $V_n = C(1+i)^n$Vn​=C(1+i)n es exacta bajo cuatro condiciones, y su resultado solo se interpreta correctamente bajo otras dos.

Para que la fórmula se aplique:

• Una tasa constante en todo el horizonte. Si la tasa varía de un periodo a otro, hay que multiplicar los factores uno a uno: $V_n = C\,(1+i_1)(1+i_2)\cdots(1+i_n)$Vn​=C(1+i1​)(1+i2​)⋯(1+in​). La potencia no es más que el caso particular en que todas las tasas son iguales.
• Una capitalización efectiva. Unos intereses abonados y retirados en cada periodo corresponden al interés simple, sea cual sea el nombre que se dé al producto.
• Un capital dejado intacto. Toda aportación o retirada de capital por el camino sale de la fórmula: cada flujo debe entonces capitalizarse por separado, desde su propia fecha.
• Solo detracciones proporcionales. Un gasto fijo por periodo saca al valor de la forma $C(1+i)^n$C(1+i)n, puesto que se resta entonces un importe que el factor no puede absorber. Una detracción proporcional, en cambio, preserva la forma — pero cambia la tasa que hay que emplear, como dice la condición siguiente.

Para que el resultado signifique algo:

• La tasa correcta. Gastos e impuestos proporcionales detraídos en cada periodo reducen el factor: es la tasa neta la que debe figurar en la fórmula. La diferencia entre lo bruto y lo neto se ahonda entonces con la duración, y su cociente crece como la potencia $n$n-ésima de $(1+i)/(1+i_{\mathrm{net}})$(1+i)/(1+inet​).
• Una unidad de medida estable. Un rendimiento del 5 % en euros corrientes, cuando los precios suben un 3 %, no deja un 2 % de poder adquisitivo adicional, sino $1{,}05/1{,}03 - 1 \approx 1{,}94\,\%$1,05/1,03−1≈1,94%: las tasas se componen, no se suman. La resta no es más que una aproximación, tanto más grosera cuanto más altas son las tasas. (La palabra nominal adquiere aquí un segundo sentido — antes de la corrección de la inflación, por oposición a un rendimiento real — que no debe confundirse con la tasa nominal de la sección sobre la frecuencia de capitalización, que se opone a la tasa efectiva.)

Dos observaciones, por último. El mecanismo es indiferente a la dirección del préstamo: una deuda cuyos intereses impagados se añaden al capital crece según exactamente la misma fórmula. Y si $i$i está comprendido entre $-1$−1 y $0$0, el factor $1+i$1+i está comprendido entre 0 y 1: la misma progresión geométrica describe entonces una erosión, cada vez más lenta en valor absoluto.

Resumen

El interés compuesto hace que el interés recaiga sobre los intereses ya adquiridos: la suma sigue una progresión geométrica de razón $1+i$1+i, cuya ventaja sobre el interés simple, en cuanto la tasa es positiva, aumenta sin límite con la duración.