1. Objetivos y prerrequisitos

Prerrequisitos: conjuntos y números reales. Aprenderás a definir una función, evaluar f(x), leer imágenes y preimágenes, relacionar representaciones y elegir un dominio adecuado.

2. Definición: una entrada, una salida

Una función f de D a un conjunto de llegada asigna exactamente una salida f(x) a cada x de D. Varias entradas pueden compartir una salida, pero una entrada no puede tener dos salidas distintas.

3. Dominio, imagen y preimagen

El dominio contiene las entradas permitidas. La imagen de x es f(x). Una preimagen de y es un x con f(x)=y. El contexto puede restringir el dominio.

4. Cuatro representaciones

Una función puede describirse con palabras, fórmula, tabla o gráfica. La gráfica es el conjunto de puntos (x,f(x)).

5. Ejemplo resuelto

Para f(x)=2x+3, f(2)=7 y (2,7) está en la gráfica. Resolver f(x)=7 da x=2.

6. Práctica

6.1. Evaluar y leer una función

Sea f(x)=2x+3. Calcula f(-2), f(0) y f(4), y encuentra la entrada cuya salida es 7. Presenta una tabla entrada-salida.

Corrección guiada. f(-2)=-1, f(0)=3, f(4)=11 y la entrada para la salida 7 es x=2.

6.2. Modelizar una tarifa de viaje

Un viaje cuesta 4 € fijos más 1,80 € por kilómetro. Define C(d), un dominio realista, calcula C(0), C(2), C(5) y explica 1,80 y 4.

Criterios de éxito. C(d)=4+1,8d con d≥0; C(0)=4, C(2)=7,6 y C(5)=13. 1,80 es el coste por km y 4 el cargo fijo.

6.3. Reconocer una función e interpretar valores

Una tabla asigna -1→3, 0→1, 1→1 y 2→3. Decide si define una función, da la salida de 2 y las entradas con salida 1. Explica por qué 0→1 y 0→4 juntos no definen una función.

Criterios de éxito. La justificación usa una única salida por entrada y distingue que varias entradas sí pueden compartir una salida.

7. Profundización: qué codifica realmente una función

7.1. ¿Relación o función?

Una relación puede asociar objetos sin ser una función. La condición decisiva afecta a las entradas: cada entrada del dominio debe tener exactamente una salida. Por eso una tabla donde la misma entrada tiene dos salidas diferentes no define una función. En una gráfica y=f(x), la misma idea se reconoce con la prueba de la recta vertical.

No se exige la condición inversa: varias entradas pueden compartir una salida. En la función cuadrado, (-2)² y 2² valen ambos 4.

7.2. Dominio, codominio e imagen

El dominio contiene las entradas permitidas; el codominio declara dónde viven las salidas; la imagen contiene solo los valores realmente alcanzados. Si f(x)=x² se considera de R en R, su imagen es [0,+∞). Esta diferencia importa al buscar preimágenes o estudiar si una función puede invertirse.

El contexto también puede restringir el dominio. En g(x)=1/(x-2), x=2 está prohibido por el cálculo. En un modelo de tiempo, masa o distancia pueden aparecer restricciones adicionales.

7.3. Funciones por tramos y representaciones

Una regla puede cambiar en distintas zonas del dominio y seguir siendo una sola función si cada entrada conserva una única salida. Un cambio en una fórmula por tramos debe aparecer de forma coherente en la tabla y en la gráfica.

Pasar de una descripción verbal a fórmula, tabla y gráfica sirve además para comprobar el modelo: cada representación destaca una información diferente y todas deben ser compatibles.

7.4. Lectura de gráficas y errores frecuentes

Leer f(3)=5 significa partir de x=3 y leer la ordenada correspondiente. Buscar las preimágenes de 5 invierte la pregunta y puede producir cero, una o varias respuestas.

Errores frecuentes: interpretar f(x) como un producto, confundir codominio e imagen, olvidar restricciones del dominio, creer que varias preimágenes impiden ser función o deducir una fórmula única de unos pocos puntos. Una función es ante todo una regla definida sobre un dominio preciso.

8. Resumen

Una función asigna exactamente una salida a cada entrada de su dominio.

9. Fuentes curriculares

• Ministerio de Educación de Francia — programa de matemáticas de seconde 2026, sección Funciones: boletín oficial.
• Departamento de Educación de California — F-IF.1 y F-IF.2: California Content Standards.

10. Nota de revisión

Lección preparada el 20 de septiembre de 2026 con dos marcos oficiales de países distintos. Texto y traducciones preparados con IA; no se afirma una mejora de aprendizaje medida.