Los conjuntos
Definición
Un conjunto es una colección de objetos bien definidos llamados elementos. Por ejemplo,
A={2,4,6}
y 4∈A significa que 4 pertenece a A. En cambio, 5∈/A.
El orden y las repeticiones no cambian un conjunto: {2,4,6}, {6,4,2} y {2,2,4,6} designan el mismo conjunto. Solo importa qué elementos pertenecen a la colección.
Describir un conjunto
Podemos enumerar sus elementos por extensión:
B={a,e,i,o,u}
o definirlos mediante una propiedad:
C={n∈N∣n<5}={0,1,2,3,4}
Aquí se adopta la convención 0∈N. La barra vertical se lee «tal que». La propiedad debe decidir sin ambigüedad si un objeto pertenece al conjunto.
Conjunto vacío, igualdad y cardinal
El conjunto vacío, ∅, no contiene ningún elemento. No debe confundirse con {∅}, que contiene un elemento: el propio conjunto vacío.
Dos conjuntos son iguales si tienen exactamente los mismos elementos. Para un conjunto finito A, su cardinal ∣A∣ es su número de elementos. Si A={2,4,6}, entonces ∣A∣=3.
Inclusión y subconjuntos
Escribimos A⊆B cuando todo elemento de A también pertenece a B. Por ejemplo,
{2,4}⊆{1,2,3,4}
Pertenencia e inclusión no son la misma relación: 2∈A compara un objeto con un conjunto; A⊆B compara dos conjuntos. Todo conjunto está incluido en sí mismo y el conjunto vacío está incluido en todo conjunto.
Tres operaciones fundamentales
Sean A={1,2,3} y B={3,4}.
| Operación | Sentido | Resultado |
|---|---|---|
| Unión A∪B | Elementos en A o en B | {1,2,3,4} |
| Intersección A∩B | Elementos comunes a A y B | {3} |
| Diferencia A∖B | Elementos de A que no están en B | {1,2} |
El «o» de la unión es inclusivo: un elemento presente en ambos conjuntos pertenece a la unión, pero solo aparece una vez. Si se fija un universo U, el complementario de A en U es U∖A. Sin universo explícito, «el complementario de A» está incompleto.
Los diagramas ayudan, pero no definen
Un diagrama de Venn representa conjuntos mediante regiones. El solapamiento muestra la intersección y las regiones combinadas muestran la unión. Es una ayuda, no la definición: una prueba vuelve a las condiciones de pertenencia.
Para mostrar A∩B⊆A, tomamos x∈A∩B. Por definición, x∈A y x∈B; por tanto, x∈A.
Por qué sirve esta abstracción
Los conjuntos ofrecen un vocabulario común a matemáticas e informática. Un dominio de valores, resultados de una consulta, vértices de un grafo o casos aceptados por una regla pueden tratarse como conjuntos. Las relaciones son conjuntos de pares ordenados y las funciones usan dominio y codominio. Por eso son requisito directo para relaciones, funciones, bases de datos, probabilidad y grafos.
Resumen
Un conjunto queda determinado por sus elementos: la pertenencia relaciona un objeto con un conjunto; la inclusión compara conjuntos; unión, intersección y diferencia construyen otros nuevos.