1. Objetivo y prerrequisitos

Prerrequisitos: calcular una tasa de variación entre dos puntos y comprender un límite sencillo. El objetivo es construir la derivada desde esas dos ideas y después interpretarla como pendiente y cambio instantáneo.

Al final podrás explicar el cociente incremental, calcular una derivada sencilla desde primeros principios y escribir la ecuación de una tangente.

2. De las secantes a la tangente

Para una función f y una entrada a, elegimos una segunda entrada a+h. La tasa de variación entre ambos puntos es

(f(a+h)-f(a))/h, con h≠0.

Geométricamente es la pendiente de la secante que pasa por (a,f(a)) y (a+h,f(a+h)). Cuando h se hace más pequeño, el segundo punto se aproxima al primero. Si las pendientes de las secantes se acercan a un único valor, ese valor describe la pendiente local de la curva.

3. Definición de derivada en un punto

La función f es derivable en a si existe y es finito el límite

f'(a)=lim_{h→0}(f(a+h)-f(a))/h.

El número f'(a) es la derivada de f en a.

Es una afirmación local: no dice que la función sea exactamente lineal cerca de a, sino que a una escala suficientemente pequeña su cambio se aproxima bien mediante una recta de pendiente f'(a).

4. Significado geométrico y ecuación de la tangente

La tangente al gráfico de f en A=(a,f(a)) tiene pendiente f'(a). Su ecuación es

y=f(a)+f'(a)(x-a).

El signo de f'(a) aporta información local: positivo indica que la curva sube cerca del punto, negativo que baja y cero que la tangente es horizontal. Una derivada nula, por sí sola, no demuestra un máximo o un mínimo.

5. Ejemplo resuelto desde primeros principios

Sea f(x)=x² y a=2.

(f(2+h)-f(2))/h=((2+h)²-4)/h.

Al desarrollar: (4+4h+h²-4)/h=(4h+h²)/h=4+h para h≠0.

Cuando h tiende a 0, 4+h tiende a 4. Por tanto f'(2)=4.

La tangente pasa por (2,4) y tiene pendiente 4:

y=4+4(x-2)=4x-4.

El cálculo muestra la lógica de la derivada sin asumir la regla (x²)'=2x.

6. Cambio instantáneo y unidades

Si f representa posición en metros y la entrada es tiempo en segundos, la tasa media tiene unidades m/s. La derivada conserva esas unidades, pero representa el valor instantáneo límite.

No mide directamente lo ocurrido en un intervalo finito: es el valor al que se aproximan las tasas medias cuando el intervalo se estrecha alrededor del punto.

7. Práctica

7.1. Derivar desde primeros principios

Para f(x)=x², calcula f'(3) a partir del límite de (f(3+h)-f(3))/h cuando h tiende a 0. Desarrolla y simplifica antes de tomar el límite e interpreta el resultado como pendiente.

Corrección guiada. Para h≠0 el cociente se simplifica a 6+h, por lo que el límite vale 6; la tangente en x=3 tiene pendiente 6.

7.2. Observar una velocidad instantánea

Modeliza la posición mediante s(t)=t² metros, con t en segundos. Calcula las velocidades medias entre t=2 y t=2+h para h=1, 0,5 y 0,1. Compáralas y explica qué sugiere su aproximación a un mismo valor.

Criterios de éxito. Los cocientes usan los intervalos correctos, las unidades son m/s y la interpretación distingue media en un intervalo y valor instantáneo límite.

7.3. Recuperar una derivada sin regla preparada

Para g(x)=x³, determina g'(1) desde primeros principios usando (g(1+h)-g(1))/h. Después da la ecuación de la tangente en x=1 y justifica cada paso.

Criterios de éxito. La respuesta desarrolla el cubo, factoriza h antes del límite, obtiene la pendiente correcta y construye la tangente por (1,1), sin invocar directamente (x³)'=3x².

8. Síntesis

La derivada en un punto es un límite de tasas de variación. Esas tasas son pendientes de secantes; su límite proporciona la pendiente de la tangente. El mismo número puede describir un cambio instantáneo con unidades heredadas del contexto.

9. Fuentes curriculares

• Ministerio francés de Educación — programa 2026 de première générale, sección « Dérivation »: boletín oficial.
• UK Department for Education — GCE AS and A level Mathematics, sección G « Differentiation »: contenido oficial.

10. Nota de revisión

Lección preparada el 26 de septiembre de 2026 a partir de dos marcos oficiales de países distintos. Los cálculos se recomputaron y las ocho versiones lingüísticas se revisaron en dos pasadas por el mismo modelo; no se afirma validación humana independiente ni mejora de aprendizaje medida.